O custo de produção (em reais) de x unidades de um carrinho metálico é dado por 1500+12 x. Dessa forma, o custo médio por unidade é expresso por \frac{15000+12 x}{x}. Quantas unidades do carrinho devem ser produzidas para que o custo por unidade não seja superior a \mathrm{R} \ 15,00 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estas expressões diretamente do enunciado):
  • O custo total de produção de x unidades é dado por 1500+12x.
  • O enunciado também apresenta a expressão do custo médio por unidade como \dfrac{15000+12x}{x}.
  • A pergunta é: “Quantas unidades do carrinho devem ser produzidas para que o custo por unidade não seja superior a \mathrm{R}\$\,15{,}00?” — ou seja, queremos os valores de x tais que o custo por unidade seja menor ou igual a 15.
Observações sobre a variável:
  • x representa o número de unidades produzidas, logo devemos ter x>0.
  • Na prática x deve ser um número inteiro (não se produz fração de unidade), mas primeiro resolvemos a desigualdade em \mathbb{R}_{>0} e depois ajustamos para inteiros.

Passo 2

Entendendo o conceito usado aqui (aulas rápidas e diretas):
  • Custo médio por unidade significa “custo total dividido pelo número de unidades”. Se o custo total for C(x), o custo médio é \dfrac{C(x)}{x}.
  • No enunciado já foi dada a expressão do custo médio como \dfrac{15000+12x}{x}. Vou usar essa expressão como ponto de partida.
  • Quando o problema pede que o custo "não seja superior a \mathrm{R}\$\,15{,}00", em matemática isso vira a desigualdade \dfrac{15000+12x}{x}\le 15. Explico: “não superior” significa “menor ou igual”.

Passo 3

Escrevendo a desigualdade que precisamos resolver:
\frac{15000+12x}{x}\le 15.
Aqui cada símbolo significa:
  • 15000 e 12 são constantes numéricas (reais).
  • x é a variável (número de unidades), com x>0.
  • O objetivo é encontrar os x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 4

Manipulação algébrica passo a passo (explicando cada operação):
  1. Separe o quociente em termos mais simples, usando a propriedade \dfrac{a+b}{x}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x}:
\frac{15000+12x}{x}=\frac{15000}{x}+\frac{12x}{x}=\frac{15000}{x}+12.
  1. Substitua isso na desigualdade:
\frac{15000}{x}+12\le 15.
  1. Subtraia 12 de ambos os lados (subtrair uma mesma quantidade preserva a desigualdade):
\frac{15000}{x}\le 3.

Passo 5

Continuando a solução e justificando sinais:
  • Agora multiplicamos ambos os lados por x. Importante: como x>0, ao multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por x o sentido da desigualdade não se inverte. (Se x fosse negativo, o sentido inverteria — por isso deixamos claro x>0.)
  • Multiplicando por x obtemos:
15000 \le 3x.
  • Agora dividimos ambos os lados por 3 (dividir por número positivo também preserva o sentido):
\frac{15000}{3}\le x.
  • Calculando a divisão:
5000 \le x,
ou seja \,x\ge 5000.

Passo 6

Interpretação prática e checagem:
  • A solução real da desigualdade é x\ge 5000 com x>0. Como x representa unidades produzidas, na prática escolhemos x inteiro. Portanto o menor número inteiro de unidades que atende à condição é x=5000.
  • Verificação rápida: para x=5000,
\frac{15000+12\cdot 5000}{5000}=\frac{15000+60000}{5000}=\frac{75000}{5000}=15,
logo exatamente \mathrm{R}\$\,15{,}00. Para x>5000 o custo médio será menor que \mathrm{R}\$\,15{,}00; para x<5000 será maior.

Resposta

Produzir pelo menos 5000 unidades.

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