D. 109 Calcular o produto dos 101 termos iniciais da P.G. alternante em que a1 = -1.

Passo 1

O enunciado pede o produto dos primeiros 101 termos de uma P.G. alternante cuja razão é negativa e cujo primeiro termo é -1. Para resolver, vamos usar a expressão geral do produto dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a_1 e razão r.

Passo 2

Em qualquer P.G. de primeiro termo a_1 e razão r, o k-ésimo termo é
a_k = a_1\,r^{\,k-1}.

Passo 3

O produto dos n primeiros termos dessa P.G. é
\prod_{k=1}^{n}a_k =\prod_{k=1}^{n}\bigl(a_1\,r^{\,k-1}\bigr) =a_1^n\;r^{\sum_{k=1}^{n}(k-1)} =a_1^n\;r^{0+1+\cdots+(n-1)}.

Passo 4

Sabendo que 0+1+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}, substituímos n=101 e a_1=-1:
\prod_{k=1}^{101}a_k =(-1)^{101}\;r^{\frac{101\cdot100}{2}} =-1\;\,r^{5050}.

Resposta

-\,r^{5050}

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