Em cada uma das P.G. abaixo calcule o produto dos n termos iniciais:
(1,1 / 3,1 / 9, \ldots) n=51

Passo 1

O enunciado nos dá uma P.G. cujos termos iniciais são
1,\;\tfrac13,\;\tfrac19,\;\ldots
e pede o produto dos n=51 primeiros termos. Para isso, vamos usar a fórmula do produto de uma P.G.

Passo 2

Numa P.G. com primeiro termo a_1 e razão r, o k-ésimo termo é
a_k = a_1\,r^{\,k-1}.
Aqui, a_1=1 e r=\tfrac13.

Passo 3

O produto dos n primeiros termos de uma P.G. é
\prod_{k=1}^n a_k = \prod_{k=1}^n \bigl(a_1\,r^{\,k-1}\bigr) = a_1^n \;r^{\sum_{k=0}^{n-1}k} = a_1^n \;r^{\frac{n(n-1)}2}.

Passo 4

Substituindo a_1=1, r=\tfrac13 e n=51, obtemos
\prod_{k=1}^{51}a_k = 1^{51}\,\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{\frac{51\cdot50}{2}} = \Bigl(\tfrac13\Bigr)^{1275}.

Resposta

\displaystyle \Bigl(\tfrac13\Bigr)^{1275}

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