(d) \int \frac{1}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} d x= \qquad Passo 1O enunciado pede \int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx. Vamos usar a identidade da função hiperbólica \operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, que implica \bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2} = 4\,\operatorname{cosh}^{2}x e, portanto, \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}} =\frac{1}{4}\,\sech^{2}x. Passo 2Sabendo que \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr)=\sech^{2}x, podemos escrever \int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{4}\,\sech^{2}x\,dx = \frac{1}{4}\int \sech^{2}x\,dx = \frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x + C. Resposta \int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x + C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(d) \int \frac{1}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} d x= \qquad (d) \int \frac{1}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} d x= \qquad \int x \operatorname{sec} ^{2}\left(x^{2}\right) d x