(d) \int \frac{1}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} d x= \qquad

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx.
Vamos usar a identidade da função hiperbólica
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
que implica
\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2} = 4\,\operatorname{cosh}^{2}x
e, portanto,
\frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}} =\frac{1}{4}\,\sech^{2}x.

Passo 2

Sabendo que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr)=\sech^{2}x,
podemos escrever
\int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{4}\,\sech^{2}x\,dx = \frac{1}{4}\int \sech^{2}x\,dx = \frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x + C.

Resposta

\int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x + C.

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