(d) \int \frac{1}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} d x= \qquad

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
\int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar funções hiperbólicas, pois aparece a combinação e^{x}+e^{-x}. Vamos precisar lembrar que
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad\text{e}\quad \sech x = \frac{1}{\operatorname{cosh} x},
além de que \frac{d}{dx}(\operatorname{tanh} x)=\sech^{2}x.

Passo 2

Expressamos o denominador em termos de \operatorname{cosh} x:
e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}=4\,\operatorname{cosh}^{2}x.
Logo o integrando vira
\frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}} =\frac{1}{4\,\operatorname{cosh}^{2}x} =\frac{1}{4}\sech^{2}x.

Passo 3

Sabendo que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr)=\sech^{2}x,
temos
\int \sech^{2}x\,dx=\operatorname{tanh} x + C.
Portanto
\int \frac{1}{4}\sech^{2}x\,dx =\frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x + C.

Passo 4

Se quisermos voltar a uma forma com exponenciais, lembramos que
\operatorname{tanh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Então fica
\frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x =\frac{1}{4}\,\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} + C.

Resposta

\int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx =\frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x + C =\frac{1}{4}\,\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} + C.

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