1. Integre a função.
    (a) \int \sqrt{x-1} d x= \qquad
    (b) \int e^{2 x+1} d x= \qquad
    (c) \int\left(\operatorname{sen}^{3} x \cos x+\operatorname{sen} x \cos ^{3} x\right) d x= \qquad

Passo 1

O enunciado pede as integrais indefinidas
(a) \displaystyle \int \sqrt{x-1}\,dx,
(b) \displaystyle \int e^{2x+1}\,dx e
(c) \displaystyle \int\bigl(\sin^3x\cos x+\sin x\cos^3x\bigr)\,dx.
Vamos usar regra de potência e substituição simples para (a) e (b), e para (c) separar em duas integrais usando substituições adequadas.

Passo 2

Calcular \displaystyle \int \sqrt{x-1}\,dx=\int (x-1)^{1/2}dx.
Fazemos a substituição
u = x - 1,\quad du = dx.
Logo
\int (x-1)^{1/2}dx = \int u^{1/2}du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.
Voltando a x,
\int \sqrt{x-1}\,dx = \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int e^{2x+1}\,dx.
Use a substituição
u = 2x + 1,\quad du = 2\,dx\;\Longrightarrow\;dx = \frac{du}{2}.
Então
\int e^{2x+1}dx = \int e^u\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{2x+1} + C.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int\bigl(\sin^3x\cos x+\sin x\cos^3x\bigr)\,dx.
Separe em
I_1 = \int \sin^3x\cos x\,dx,\quad I_2 = \int \sin x\cos^3x\,dx.
Para I_1: seja u=\sin x, du=\cos x\,dx. Então
I_1 = \int u^3\,du = \frac{u^4}{4} = \frac{\sin^4x}{4}.
Para I_2: seja v=\cos x, dv=-\sin x\,dx. Então
I_2 = \int \sin x\cos^3x\,dx = \int -v^3\,dv = -\frac{v^4}{4} = -\frac{\cos^4x}{4}.
Somando,
\int\bigl(\sin^3x\cos x+\sin x\cos^3x\bigr)dx = \frac{\sin^4x}{4} - \frac{\cos^4x}{4} + C = \frac{\sin^4x-\cos^4x}{4} + C,
e usando \sin^2x+\cos^2x=1 pode-se também escrever
\frac{\sin^2x-\cos^2x}{4}+C.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C
(b) \displaystyle \frac{1}{2}e^{2x+1} + C
(c) \displaystyle \frac{\sin^4x-\cos^4x}{4} + C (ou \displaystyle \frac{\sin^2x-\cos^2x}{4} + C)

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