d)
2. Suponha
não-limitada em
e integrável em
para
. Defina
.
3. Calcule
a)
b)
c)
d)
4. Suponha
não-limitada e contínua nos intervalos
. Defina
.
2. Suponha
3. Calcule
a)
b)
c)
d)
4. Suponha
Passo 1
O problema pede dois tipos de coisas:
- Calcular integrais impróprias específicas:
d)
3a)
3b)
3c)
3d) - Dar definição de integral imprópria quando
é não-limitada num extremo (item 2) e no interior (item 4).
Vamos usar a noção de limite dos integrais propriamente ditos para estender a definição aos casos em que a função explode.
Passo 2
Cálculo de
.
Teoria: usar integração por partes com
Teoria: usar integração por partes com
logo
Aplicando
, temos
Sabendo que
e
, resulta
Passo 3
Definição de integral imprópria quando
é não-limitada em
.
Se é integrável em cada
para
, define-se
Se
desde que esse limite exista finito. Caso contrário, dizemos que a integral diverge.
Passo 4
Cálculo de 3a e 3b.
3a)
.
Reconhece-se a derivada de , pois
Reconhece-se a derivada de
Logo
3b)
.
Use a substituição , então
e, quando
,
; quando
,
.
Use a substituição
Passo 5
Cálculo de 3c e 3d.
3c)
.
Note que no ponto o denominador anula, então é integral imprópria no limite pelo lado esquerdo. Podemos tentar a primitiva por frações parciais:
Note que no ponto
Uma primitiva válida em
é
Ao avaliar de
até
, o termo
diverge para
. Portanto
e a integral diverge.
3d)
.
Use , então
, ou
. Quando
,
; quando
,
.
Use
Passo 6
Definição de integral imprópria quando
é não-limitada no interior
.
Se é contínua em
e em
(mas explode em
), define-se
Se
desde que ambos os limites existam (e sejam finitos). Caso contrário, a integral diverge.
Resposta
d)
2)
3a)
3b)
3c) diverge.
3d)
4)
2)
3a)
3b)
3c)
3d)
4)