d) \int_{0}^{1} \ln x d x
2. Suponha f não-limitada em \left[a, b\left[\right.\right. e integrável em [a, t] para a<t<b. Defina \int_{a}^{b} f(x) d x.
3. Calcule
a) \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
b) \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2-x}} d x
c) \int_{-1}^{2} \frac{1}{4-x^{2}} d x
d) \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
4. Suponha f não-limitada e contínua nos intervalos [a, c[e] c, b]. Defina \int_{a}^{b} f(x) d x.

Passo 1

O problema pede dois tipos de coisas:
  1. Calcular integrais impróprias específicas:
    d) \displaystyle\int_{0}^{1}\ln x\,dx
    3a) \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx
    3b) \displaystyle\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx
    3c) \displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{1}{4-x^{2}}\,dx
    3d) \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx
  2. Dar definição de integral imprópria quando f é não-limitada num extremo [a,b[ (item 2) e no interior [a,c[\cup[c,b] (item 4).
    Vamos usar a noção de limite dos integrais propriamente ditos para estender a definição aos casos em que a função explode.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle\int_{0}^{1}\ln x\,dx.
Teoria: usar integração por partes com
u=\ln x,\quad dv=dx,
logo
du=\frac{1}{x}dx,\quad v=x.
Aplicando \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int_{0}^{1}\ln x\,dx =\Bigl[x\ln x\Bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x\cdot\frac{1}{x}\,dx =\bigl(1\cdot\ln1- \lim_{x\to0^+}x\ln x\bigr)-\int_{0}^{1}1\,dx.
Sabendo que \ln1=0 e \lim_{x\to0^+}x\ln x=0, resulta
\int_{0}^{1}\ln x\,dx = 0 - \bigl[\,x\bigr]_{0}^{1} = -1.

Passo 3

Definição de integral imprópria quando f é não-limitada em \bigl[a,b[\bigr..
Se f é integrável em cada [a,t] para a<t<b, define-se
\int_{a}^{b}f(x)\,dx =\lim_{t\to b^-}\int_{a}^{t}f(x)\,dx,
desde que esse limite exista finito. Caso contrário, dizemos que a integral diverge.

Passo 4

Cálculo de 3a e 3b.
3a) \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Reconhece-se a derivada de \arcsin x, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin x\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =\bigl[\arcsin x\bigr]_{0}^{1} =\arcsin(1)-\arcsin(0) =\frac{\pi}{2}-0 =\frac{\pi}{2}.
3b) \displaystyle\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx.
Use a substituição u=2-x, então du=-dx e, quando x=0, u=2; quando x=2, u=0.
\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx =\int_{u=2}^{u=0}\frac{1}{\sqrt{u}}\bigl(-du\bigr) =\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{u}}\,du =\bigl[2\sqrt{u}\bigr]_{0}^{2} =2\sqrt{2}-0 =2\sqrt{2}.

Passo 5

Cálculo de 3c e 3d.
3c) \displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{1}{4-x^{2}}\,dx.
Note que no ponto x=2 o denominador anula, então é integral imprópria no limite pelo lado esquerdo. Podemos tentar a primitiva por frações parciais:
\frac{1}{4-x^{2}} =\frac{1}{(2-x)(2+x)} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2-x}\Bigr).
Uma primitiva válida em (-1,2) é
\frac{1}{4}\Bigl(\ln|2+x|-\ln|2-x|\Bigr).
Ao avaliar de -1 até 2^-, o termo -\ln|2-x| diverge para +\infty. Portanto
\int_{-1}^{2}\frac{1}{4-x^{2}}\,dx = +\infty
e a integral diverge.
3d) \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Use u=1-x^{2}, então du=-2x\,dx, ou x\,dx=-\tfrac12du. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=0.
\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =\int_{u=1}^{u=0}\frac{1}{\sqrt{u}}\Bigl(-\tfrac12du\Bigr) =\frac12\int_{0}^{1}u^{-1/2}\,du =\frac12\bigl[2\sqrt{u}\bigr]_{0}^{1} =1.

Passo 6

Definição de integral imprópria quando f é não-limitada no interior [a,c[\cup[c,b].
Se f é contínua em [a,c[ e em [c,b] (mas explode em c), define-se
\int_{a}^{b}f(x)\,dx =\lim_{t\to c^-}\int_{a}^{t}f(x)\,dx \;+\; \lim_{s\to c^+}\int_{s}^{b}f(x)\,dx,
desde que ambos os limites existam (e sejam finitos). Caso contrário, a integral diverge.

Resposta

d) \displaystyle\int_{0}^{1}\ln x\,dx=-1.
2) \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{t\to b^-}\int_{a}^{t}f(x)\,dx.
3a) \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\frac{\pi}{2}.
3b) \displaystyle\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=2\sqrt{2}.
3c) \displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{1}{4-x^{2}}\,dx diverge.
3d) \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=1.
4) \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx =\lim_{t\to c^-}\int_{a}^{t}f(x)\,dx +\lim_{s\to c^+}\int_{s}^{b}f(x)\,dx.

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