m)
2. Suponha
integrável em
, para todo
. Suponha que existem um
real e uma função
tais que, para todo
. Suponha, além disso, que
(L real). Prove:
a)
convergente
b)
divergente
3. Utilizando o Exercício 2, estude a convergência ou divergência de cada uma das integrais a seguir.
a)
b)
44 Um Curso de Cálculo - Vol. 2
c)
2. Suponha
a)
b)
3. Utilizando o Exercício 2, estude a convergência ou divergência de cada uma das integrais a seguir.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado contém três coisas: (m) calcular a função
como função de
; (2) provar um critério de convergência para integrais impróprias do tipo
e (3) aplicar esse critério a três integrais impróprias. Vamos usar: para (m) a regra da diferenciação de uma integral com limites variáveis e simetria de função par; para (2) o teste de comparação assintótico; e para (3) comparar cada integrando com
adequado.
Passo 2
Defina
Como a função
é par, temos
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limites variáveis,
Além disso,
. Logo,
e de fato coincide com a definição. Em síntese,
Passo 3
Queremos provar que, se
com
quando
, então:
a) Se
,
converge.
Como
, existe
tal que para
temos
. Então, para
,
Mas
implica
converge. Logo, por comparação,
converge. Somando a parte
, que é finita, conclui-se que
converge.
Passo 4
b) Se
,
diverge.
Novamente, como
, existe
tal que para
temos
. Assim, para
,
Mas se
,
diverge. Logo, por comparação,
diverge, e assim
também diverge.
Passo 5
Agora apliquei-mos (2) às integrais de (3).
a)
Para
, o integrando comporta-se como
isto é,
. Pelo item b), diverge.
Passo 6
b)
Note que
então o integrando vale
. Aqui
, logo converge pelo item a).
Passo 7
c)
Para
, o integrando é
isto é,
. Pelo item a), converge.
Resposta
m)
e
.
2a) converge se .
2b) diverge se .
3a) diverge.
3b) converge.
3c) converge.
2a) converge se
2b) diverge se
3a) diverge.
3b) converge.
3c) converge.