(d)
Passo 1
Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Vamos identificar partes da nossa integral para aplicar essa fórmula. Vamos escolher:
Agora, calculamos
e
:
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores de
,
,
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a nova integral
usando novamente integração por partes. Desta vez, vamos escolher:
Calculando
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à equação anterior onde tínhamos a integral original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para a integral que aparece dos dois lados da equação. Chamando , temos:
Somando
aos dois lados:
Passo 8
Isolando
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.