(d) integral e^-x sen(3 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar partes da nossa integral para aplicar essa fórmula. Vamos escolher:
Agora, calculamos u = e^-x e dv = sen(3x) , dx e du = -e^-x , dx e v = -13 cos(3x) :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores de integral e^-x sen(3x) , dx = uv - integral v , du , = e^-x (-13 cos(3x)) - integral (-13 cos(3x))(-e^-x) , dx , = -13 e^-x cos(3x) - 13 integral e^-x cos(3x) , dx :
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^-x e dv = cos(3x) , dx usando novamente integração por partes. Desta vez, vamos escolher:
du = -e^-x , dx e v = 13 sen(3x)
Calculando e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^-x cos(3x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à equação anterior onde tínhamos a integral original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver para a integral que aparece dos dois lados da equação. Chamando , temos:
Somando I = -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sen(3x) - 19 I aos dois lados:

Passo 8

Isolando I = 910 ( -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sen(3x) ) :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:
onde -310 e^-x cos(3x) - 110 e^-x sen(3x) + C é a constante de integração.

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