Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
l partial^2 upartial x^2=partial upartial t u(x, 0)=x e^-x^2, x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de equações diferenciais parciais (EDPs) onde precisamos usar a Transformada de Fourier para encontrar a solução. A equação que estamos lidando é:
partial^2 upartial x^2 = partial upartial t
E a condição inicial é:
u(x, 0) = x e^-x^2, x in R
Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Fourier nessa equação para resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier na variável u(k, t) = integral-infty^infty u(x, t) e^-ikx dx na equação diferencial. A Transformada de Fourier de uma função Fpartial^2 upartial x^2 = Fpartial upartial t é definida por:
Fpartial^2 upartial x^2 = -(k)^2 u(k, t)
Aplicando a Transformada de Fourier na equação dada:
Fpartial upartial t = partial upartial t
Sabemos que a Transformada de Fourier da segunda derivada em - k^2 u(k, t) = partial upartial t é:
E a Transformada de Fourier da derivada temporal é:
Então, nossa equação transformada fica:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária em termos de partial upartial t + k^2 u = 0 :
u(k, t) = u(k, 0) e^-k^2 t
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando fatores integrantes. A solução geral dessa equação é:
Aqui, é a Transformada de Fourier da condição inicial .

Passo 4

Vamos agora calcular u(k, 0) = integral-infty^infty x e^-x^2 e^-ikx dx . A Transformada de Fourier da condição inicial é:
u(k, 0) = i raizpi2 ddk e^-k^24 = i raizpi2 (-k2) e^-k^24 = -i raizpi4 k e^-k^24
Essa integral é conhecida e podemos resolvê-la usando propriedades de integrais envolvendo funções gaussianas. O resultado é:

Passo 5

Substituindo u(k, t) = -i raizpi4 k e^-k^24 e^-k^2 t = -i raizpi4 k e^-k^2(t + 14) na solução geral, temos:

Passo 6

Agora, para encontrar u(x, t) = 12pi integral-infty^infty u(k, t) e^ikx dk , precisamos aplicar a Transformada de Fourier inversa em u(x, t) = 12pi integral-infty^infty ( -i raizpi4 k e^-k^2(t + 14) ) e^ikx dk :
u(x, t) = x2(t + 14) e^-x^24(t + 14)
Substituindo :
Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que é a transformada de Fourier de uma função derivada de uma gaussiana, resultando em:

Resposta

A solução da equação dada usando a Transformada de Fourier é:
u(x, t) = x2(t + 14) e^-x^24(t + 14)

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