Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de equações diferenciais parciais (EDPs) onde precisamos usar a Transformada de Fourier para encontrar a solução. A equação que estamos lidando é:
E a condição inicial é:
Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Fourier nessa equação para resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier na variável
na equação diferencial. A Transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Aplicando a Transformada de Fourier na equação dada:
Sabemos que a Transformada de Fourier da segunda derivada em
é:
E a Transformada de Fourier da derivada temporal é:
Então, nossa equação transformada fica:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial ordinária em termos de
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando fatores integrantes. A solução geral dessa equação é:
Aqui,
é a Transformada de Fourier da condição inicial
.
Passo 4
Vamos agora calcular
. A Transformada de Fourier da condição inicial é:
Essa integral é conhecida e podemos resolvê-la usando propriedades de integrais envolvendo funções gaussianas. O resultado é:
Passo 5
Substituindo
na solução geral, temos:
Passo 6
Agora, para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada de Fourier inversa em
:
Substituindo
:
Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que é a transformada de Fourier de uma função derivada de uma gaussiana, resultando em:
Resposta
A solução da equação dada usando a Transformada de Fourier é: