d^2y/dx^2 + y = 0 ; y(0) = -1, dy/dx(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais simples:
Onde é a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
Onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
Aqui, é a unidade imaginária, onde .

Passo 6

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais e .
Primeiro, calculemos :
Portanto, .

Passo 8

Agora, calculamos a derivada :
Aplicando :
Então, .

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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