Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais simples:
Onde
é a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
Onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Substituindo
na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 6
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
.
Primeiro, calculemos
:
Portanto,
.
Passo 8
Agora, calculamos a derivada
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos: