Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^2(1-cos (1 / n^2))

Passo 1

Vamos lá! Temos que analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Precisamos entender um pouco sobre séries infinitas e os testes de convergência para decidir qual critério aplicar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Sabemos que para valores pequenos de cos(x) approx 1 - x^22 , a função cosseno pode ser aproximada por:
1 - cos(1n^2) approx 12n^4
Aqui, , que fica bem pequeno conforme cresce. Então, podemos aproximar:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na série original, temos:
n^2(1 - cos(1n^2)) approx n^2 cdot 12n^4 = 12n^2
Isso simplifica a série para algo mais fácil de comparar.

Passo 4

Agora, olhamos para a série comparativa . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se , e nesse caso, , ent��o a série converge.

Passo 5

Como nossa série original se comporta de maneira similar à série para grandes valores de , podemos concluir pelo Critério da Comparação que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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