Dada a base \gamma=\{(1,0),(1,1)\} de \mathbb{R}^{2}, utilize o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a base \gamma = \{(1,0),(1,1)\} de \mathbb{R}^2 e pede para usar o processo de Gram–Schmidt a fim de obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^2. Vamos lembrar que esse processo gera, a partir de vetores v_1,v_2, vetores ortogonais u_1,u_2 e depois os normaliza.

Passo 2

Definimos v_1 = (1,0). Calculamos sua norma:
\|v_1\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1.
Logo obtemos o primeiro vetor ortonormal
u_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = (1,0).

Passo 3

Tomamos v_2 = (1,1) e projetamos sobre u_1:
\langle v_2, u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 = 1,
portanto
\mathrm{proj}_{u_1}(v_2) = \langle v_2,u_1\rangle\,u_1 = 1\,(1,0) = (1,0).

Passo 4

Subtraímos essa projeção de v_2 para obter o vetor ortogonal w_2:
w_2 = v_2 - \mathrm{proj}_{u_1}(v_2) = (1,1) - (1,0) = (0,1).
Calculamos a norma de w_2:
\|w_2\| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1,
e então normalizamos:
u_2 = \frac{w_2}{\|w_2\|} = (0,1).

Resposta

A base ortonormal obtida é
\{(1,0),\,(0,1)\}.

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