Mostre que
é uma base ortogonal de
é uma base ortonormal? Caso negativo, obtenha uma base ortogonal de
a partir de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com
e pede para mostrarmos que
é uma base ortogonal de
, verificar se é ortonormal e, em caso negativo, obter uma base ortonormal a partir de
. Vamos usar o produto interno usual em
e a definição de conjunto ortogonal e de base ortonormal.
Passo 2
Para testar ortogonalidade calculamos os produtos internos
Como todos são zero,
são mutuamente ortogonais.
Passo 3
Em
, qualquer conjunto de três vetores ortogonais não nulos é linearmente independente. Como temos três vetores em um espaço de dimensão 3, concluímos que
é de fato uma base de
. Como já demonstramos ortogonalidade,
é uma base ortogonal.
Passo 4
Agora verificamos as normas para checar ortonormalidade:
Como nenhuma destas normas é igual a
, a base
não é ortonormal.
Passo 5
Para obter uma base ortonormal basta normalizar cada vetor de
. Definimos
Os vetores
continuam ortogonais (porque dividimos por escalar) e agora têm norma 1, logo formam uma base ortonormal de
.
Resposta
A base
é ortogonal, mas não ortonormal.
Uma base ortonormal obtida a partir de é:
Uma base ortonormal obtida a partir de