Dada a caderneta de nivelamento geométrico (método das visadas equidistantes) e as seguintes informações: Tolerância entre as distancias até 10 \%., Altitude Normal RN_A =628,891 \mathrm{~m} e Altitude Normal RN_B =623,372 \mathrm{~m} (Valor da quetão até 2,0 pontos - cada item correto vale até 0,4 ponto).
Table 1: Caderneta de Nivelamento Geométrico
\captionsetup{labelformat=empty}
Pt_ré Pt_vante D_ré(m) D_vante(m) L_ré(m) L_vante(m) dH(m) H(m)
RN_A 1 30,9 31,2 1,226 2,773 -1,547 627,344
1 2 40,1 42,7 3,012 1,167 1,845 629,189
2 3 38,6 39,3 2,098 1,745 0,353 629,542
3 4 42,4 41,2 1,527 2,289 -0,762 628,78
4 5 10,3 9,8 0,666 0,812 -0,146 628,634
5 6 22,2 22,8 2,077 1,078 0,999 629,633
6 7 41,5 41,9 1,112 2,971 -1,859 627,774
7 8 25,7 25,4 0,915 3,712 -2,797 624,977
8 9 42,3 40,9 2,476 2,065 0,411 625,388
9 10 22,3 22,7 1,112 0,356 0,756 626,144
10 RN_B 23,1 21,7 0,216 2,981 -2,765 623,379
339,4 339,6
m
km
Dt_ré Dt_vant Dt= 679,0 0,679
8.1 Calcular todos os desníveis;
8.2 Calcular as altitudes doa pontos;
8.3 Calcular o erro de fechamento da seção;
8.4 Calcular a distancia total nivelada;
8.5 Considerando a tolerancia (fórmula abaixo) conclua se o levantamento é aceito ou rejeitado: Tol = \pm 3 \mathrm{~mm} \sqrt{ } \mathrm{dt}(\mathrm{km})

Passo 1

O enunciado pede as seguintes contas, usando a caderneta fornecida (método das visadas equidistantes) e os dados de referências:
  • 8.1 Calcular todos os desníveis (dH) entre cada estação (cada par Pt_ré → Pt_vante).
  • 8.2 Calcular as altitudes dos pontos sucessivos (H) partindo de RN_A.
  • 8.3 Calcular o erro de fechamento da seção (comparar altitude final calculada com RN_B dada).
  • 8.4 Calcular a distância total nivelada.
  • 8.5 Usar a tolerância \mathrm{Tol}=\pm 3\\ \mathrm{mm}\sqrt{\mathrm{dt}(\mathrm{km})} e concluir se o levantamento é aceito ou rejeitado.
Dados fornecidos relevantes (peguei-os da tabela enviada):
  • Altitude conhecida da referência RN_A: \, \mathrm{RN\_A}=628,891\\ \mathrm{m}.
  • Altitude conhecida da referência RN_B: \, \mathrm{RN\_B}=623,372\\ \mathrm{m}.
  • Para cada trecho está dada a leitura do ré ( L_{\text{ré}}é) e a leitura do vante ( L_{\text{vante}}). A tabela também lista somatórios das distâncias:
    • Soma das distâncias do ré: \, \sum D_{\text{ré}}=339,4\\ \mathrm{m}é.
    • Soma das distâncias do vante: \, \sum D_{\text{vante}}=339,6\\ \mathrm{m}.
    • Distância total nivelada: \, \mathrm{Dt}=679,0\\ \mathrm{m}=0,679\\ \mathrm{km}.
As linhas da caderneta (ordem) são: RN_A→1, 1→2, 2→3, 3→4, 4→5, 5→6, 6→7, 7→8, 8→9, 9→10, 10→RN_B.
No passo seguinte eu explico a ideia e apresento as contas passo a passo.

Passo 2

Pequena aula prática sobre como calcular o que pedem (sem pular etapas):
  • O que são as leituras L_{\text{ré}}é e L_{\text{vante}}: são leituras de mira feitas no ré (ponto atrás) e no vante (ponto à frente) quando o instrumento está aproximadamente centrado entre eles. Em nivelamento geométrico simples, o desnível entre os pontos é dado pela diferença entre essas leituras.
  • Fórmula do desnível: \Delta H = dH = L_{\text{ré}} - L_{\text{vante}}.éExplicação: se a leitura no ré for maior que a do vante, isso significa que o ré está mais baixo que o vante (ou o instrumento está mais alto), resultando em dH>0. Se L_{\text{ré}}<L_{\text{vante}}é, então dH<0.
  • Propagação de altitudes: sabendo a altitude de um ponto inicial H_{\text{atual}}, a altitude do próximo ponto é H_{\text{próximo}} = H_{\text{atual}} + dH.óComeçamos com H(\mathrm{RN\_A})=628,891\\ \mathrm{m}.
  • Erro de fechamento: depois de propagar até RN_B, comparamos a altitude calculada H_{\text{calc}}(\mathrm{RN\_B}) com a altitude conhecida H_{\text{dada}}(\mathrm{RN\_B}). Definimos o erro de fechamento como \varepsilon = H_{\text{calc}}(\mathrm{RN\_B}) - H_{\text{dada}}(\mathrm{RN\_B}).(Sinal positivo significa que o valor calculado ficou maior que o valor conhecido.)
  • Distância total nivelada \mathrm{dt} em quilômetros é a soma das distâncias percorridas; aqui \mathrm{Dt}=679,0\\ \mathrm{m}=0,679\\ \mathrm{km}.
  • Critério de aceitação: calcular \mathrm{Tol}=\pm 3\\ \mathrm{mm}\sqrt{\mathrm{dt}(\mathrm{km})}. Se |\varepsilon| (em mm) for menor ou igual a \mathrm{Tol}, aceita-se; caso contrário, rejeita-se.
Agora eu faço as contas linha a linha aplicando dH=L_{\text{ré}}-L_{\text{vante}}é e H_{\text{next}}=H_{\text{prev}}+dH.

Passo 3

Cálculo do primeiro trecho RN_A → 1:
  • Leituras (peguei da tabela): L_{\text{ré}}=1,226é, L_{\text{vante}}=2,773.
  • Desnível: dH_{(\mathrm{RN\_A}\to1)} = 1,226 - 2,773 = -1,547\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 1: H_1 = H(\mathrm{RN\_A}) + dH = 628,891 + (-1,547) = 627,344\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo do trecho 1 → 2:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=3,012é, L_{\text{vante}}=1,167.
  • Desnível: dH_{(1\to2)} = 3,012 - 1,167 = 1,845\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 2: H_2 = H_1 + dH_{(1\to2)} = 627,344 + 1,845 = 629,189\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo do trecho 2 → 3:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=2,098é, L_{\text{vante}}=1,745.
  • Desnível: dH_{(2\to3)} = 2,098 - 1,745 = 0,353\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 3: H_3 = H_2 + dH_{(2\to3)} = 629,189 + 0,353 = 629,542\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo do trecho 3 → 4:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=1,527é, L_{\text{vante}}=2,289.
  • Desnível: dH_{(3\to4)} = 1,527 - 2,289 = -0,762\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 4: H_4 = H_3 + dH_{(3\to4)} = 629,542 + (-0,762) = 628,780\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo do trecho 4 → 5:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=0,666é, L_{\text{vante}}=0,812.
  • Desnível: dH_{(4\to5)} = 0,666 - 0,812 = -0,146\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 5: H_5 = H_4 + dH_{(4\to5)} = 628,780 + (-0,146) = 628,634\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Cálculo do trecho 5 → 6:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=2,077é, L_{\text{vante}}=1,078.
  • Desnível: dH_{(5\to6)} = 2,077 - 1,078 = 0,999\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 6: H_6 = H_5 + dH_{(5\to6)} = 628,634 + 0,999 = 629,633\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Cálculo do trecho 6 → 7:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=1,112é, L_{\text{vante}}=2,971.
  • Desnível: dH_{(6\to7)} = 1,112 - 2,971 = -1,859\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 7: H_7 = H_6 + dH_{(6\to7)} = 629,633 + (-1,859) = 627,774\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Cálculo do trecho 7 → 8:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=0,915é, L_{\text{vante}}=3,712.
  • Desnível: dH_{(7\to8)} = 0,915 - 3,712 = -2,797\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 8: H_8 = H_7 + dH_{(7\to8)} = 627,774 + (-2,797) = 624,977\\ \mathrm{m}.

Passo 11

Cálculo do trecho 8 → 9:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=2,476é, L_{\text{vante}}=2,065.
  • Desnível: dH_{(8\to9)} = 2,476 - 2,065 = 0,411\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 9: H_9 = H_8 + dH_{(8\to9)} = 624,977 + 0,411 = 625,388\\ \mathrm{m}.

Passo 12

Cálculo do trecho 9 → 10:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=1,112é, L_{\text{vante}}=0,356.
  • Desnível: dH_{(9\to10)} = 1,112 - 0,356 = 0,756\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto 10: H_{10} = H_9 + dH_{(9\to10)} = 625,388 + 0,756 = 626,144\\ \mathrm{m}.

Passo 13

Cálculo do trecho 10 → RN_B:
  • Leituras: L_{\text{ré}}=0,216é, L_{\text{vante}}=2,981.
  • Desnível: dH_{(10\to\mathrm{RN\_B})} = 0,216 - 2,981 = -2,765\\ \mathrm{m}.
  • Altitude calculada de RN_B: H_{\text{calc}}(\mathrm{RN\_B}) = H_{10} + dH_{(10\to\mathrm{RN\_B})} = 626,144 + (-2,765) = 623,379\\ \mathrm{m}.

Passo 14

Cálculo do erro de fechamento:
  • Altitude conhecida: H_{\text{dada}}(\mathrm{RN\_B})=623,372\\ \mathrm{m}.
  • Erro de fechamento (definido como diferença calculada menos conhecida): \varepsilon = H_{\text{calc}}(\mathrm{RN\_B}) - H_{\text{dada}}(\mathrm{RN\_B}) = 623,379 - 623,372 = 0,007\\ \mathrm{m}.
  • Em milímetros: 0,007\\ \mathrm{m}=7\\ \mathrm{mm}.

Passo 15

Distância total nivelada:
  • Soma das distâncias (peguei os somatórios da tabela): \sum D_{\text{ré}}=339,4\\ \mathrm{m}é e \sum D_{\text{vante}}=339,6\\ \mathrm{m}.
  • Distância total nivelada: \mathrm{Dt} = 339,4 + 339,6 = 679,0\\ \mathrm{m} = 0,679\\ \mathrm{km}.

Passo 16

Cálculo da tolerância e decisão de aceitação:
  • Fórmula: \mathrm{Tol}=\pm 3\\ \mathrm{mm}\sqrt{\mathrm{dt}(\mathrm{km})}.
  • Substituindo \mathrm{dt}=0,679\\ \mathrm{km}: \mathrm{Tol} = \pm 3\\ \mathrm{mm}\sqrt{0,679} = \pm 3\\ \mathrm{mm}\times 0,824 = \pm 2,472\\ \mathrm{mm}\approx \pm 2,47\\ \mathrm{mm}.Em metros: \mathrm{Tol} \approx \pm 0,00247\\ \mathrm{m}.
  • Comparação com o erro de fechamento: |\varepsilon| = 7\\ \mathrm{mm} > \mathrm{Tol}\approx 2,47\\ \mathrm{mm}.
  • Conclusão: o erro de fechamento excede a tolerância, logo o levantamento deve ser rejeitado segundo esse critério.

Resposta

8.1 Desníveis dH (m):
RN_A→1: -1,547
1→2: 1,845
2→3: 0,353
3→4: -0,762
4→5: -0,146
5→6: 0,999
6→7: -1,859
7→8: -2,797
8→9: 0,411
9→10: 0,756
10→RN_B: -2,765
8.2 Altitudes dos pontos (m):
H(\mathrm{RN\_A})=628,891 (dada)
H_1=627,344
H_2=629,189
H_3=629,542
H_4=628,780
H_5=628,634
H_6=629,633
H_7=627,774
H_8=624,977
H_9=625,388
H_{10}=626,144
H_{\text{calc}}(\mathrm{RN\_B})=623,379
8.3 Erro de fechamento: \varepsilon = H_{\text{calc}}(\mathrm{RN\_B}) - H_{\text{dada}}(\mathrm{RN\_B}) = 623,379 - 623,372 = 0,007\\ \mathrm{m} = 7\\ \mathrm{mm}.
8.4 Distância total nivelada: \mathrm{Dt}=679,0\\ \mathrm{m}=0,679\\ \mathrm{km}.
8.5 Tolerância e conclusão:
\mathrm{Tol}=\pm 3\\ \mathrm{mm}\sqrt{0,679}\approx\pm 2,47\\ \mathrm{mm} (aprox. \pm 0,00247\\ \mathrm{m}).
Como |\varepsilon|=7\\ \mathrm{mm}>\mathrm{Tol}, o levantamento é REJEITADO.

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