Para a f(x)\) dada, calcule os limites indicados, se existirem. Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. \(f(x)= \begin{cases}1-x^{2} & \text { se } x<2 \\\\ 0 & \text { se } x=2 \\\ x-1 & \text { se } x>2\end{cases}
a) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A função f(x) é definida por partes:
    • f(x)=1-x^{2} se x<2.
    • f(x)=0 se x=2.
    • f(x)=x-1 se x>2.
  • O enunciado pede três limites:
    • (a) \lim_{x\to 2^{+}} f(x) (limite pela direita).
    • (b) \lim_{x\to 2^{-}} f(x) (limite pela esquerda).
    • (c) \lim_{x\to 2} f(x) (limite bilateral).

Passo 2

Lembrete prático sobre limites de funções definidas por partes (aula rápida e intuitiva):
  • Quando se calcula \lim_{x\to a^{+}} f(x) (pela direita), só importam os valores de f(x) para x>a e próximos de a. Ou seja, usa-se a fórmula que vale para x> a.
  • Quando se calcula \lim_{x\to a^{-}} f(x) (pela esquerda), só importam os valores de f(x) para x<a e próximos de a. Usa-se a fórmula que vale para x<a.
  • Se as duas limites laterais existirem e forem iguais, então a \lim_{x\to a} f(x) existe e vale esse valor comum. Se forem diferentes, o limite bilateral não existe (é um salto).
  • Polinômios e funções lineares são contínuos: o limite ao se aproximar de um ponto é igual ao valor obtido por substituição direta. Isso facilita: quando a expressão do ramo é um polinômio ou x-1, dá para substituir x=2 diretamente para achar o limite lateral correspondente.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 2^{+}} f(x):
  • Para x>2 a função vale f(x)=x-1 (peguei essa fórmula do enunciado).
  • Como x-1 é contínua, posso substituir x=2 para obter o limite:
    \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} (x-1)=2-1=1.
  • Conclusão: o limite pela direita é 1.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x):
  • Para x<2 a função vale f(x)=1-x^{2} (peguei essa fórmula do enunciado).
  • Como 1-x^{2} é um polinômio (contínuo), substituo x=2:
    \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} (1-x^{2})=1-2^{2}=1-4=-3.
  • Conclusão: o limite pela esquerda é -3.

Passo 5

Interpretar os resultados e responder ao limite bilateral \lim_{x\to 2} f(x):
  • Encontramos \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=1 e \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-3.
  • Como os limites laterais não são iguais ( 1\neq -3), o limite bilateral \lim_{x\to 2} f(x) NÃO existe.
  • Observação extra (útil para prova): o valor da função em x=2 é f(2)=0, mas isso não altera a existência do limite; o limite só depende dos valores de f arbitrariamente próximos de 2, não do valor exatamente em 2.

Resposta

a) \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=1.
b) \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-3.
c) \lim_{x\to 2} f(x) não existe, porque \lim_{x\to 2^{-}} f(x)\neq\lim_{x\to 2^{+}} f(x).

Exercícios relacionados