Para a f(x) dada, calcule os limites indicados, se existirem. Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x^{2}-3 x-1 & \text { se } x<2 \\\\ 1 & \text { se } x=2 \\\\ -x^{2}+6 x-7 & \text { se } x>2\end{array}\right.
a) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)
Conceito importante (explicação didática): para que o limite \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) exista, os limites laterais à esquerda e à direita devem existir e ser iguais. Ou seja, é preciso que
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Além disso, polinômios e funções polinomiais (como x^{2}-3x-1 e -x^{2}+6x-7) são contínuos em todos os pontos: isso significa que, para essas expressões, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da expressão nesse ponto (podemos “substituir” x=2 na expressão).
Passo 3
Cálculo do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Quando x\to 2^{+} usamos a fórmula válida para x>2, que é -x^{2}+6x-7. Como essa é uma função polinomial, o limite é obtido substituindo x=2:
Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) não existe. (Observação útil: o valor da própria função em x=2 é f(2)=1, que coincide com o limite pela direita, mas isso não basta — os dois limites laterais têm de ser iguais para que o limite bilateral exista.)
Resposta
(a) \displaystyle 1
(b) \displaystyle -3
(c) não existe — limites laterais diferentes: \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-3 e \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=1