Para a f(x) dada, calcule os limites indicados, se existirem. Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x^{2}-3 x-1 & \text { se } x<2 \\\\ 1 & \text { se } x=2 \\\\ -x^{2}+6 x-7 & \text { se } x>2\end{array}\right.
a) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-3x-1 & \text{se } x<2,\\[4pt] 1 & \text{se } x=2,\\[4pt] - x^{2}+6x-7 & \text{se } x>2, \end{cases}
e pede três limites:
  • (a) \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x);
  • (b) \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x);
  • (c) \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x).]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para que o limite \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) exista, os limites laterais à esquerda e à direita devem existir e ser iguais. Ou seja, é preciso que
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Além disso, polinômios e funções polinomiais (como x^{2}-3x-1 e -x^{2}+6x-7) são contínuos em todos os pontos: isso significa que, para essas expressões, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da expressão nesse ponto (podemos “substituir” x=2 na expressão).

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Quando x\to 2^{+} usamos a fórmula válida para x>2, que é -x^{2}+6x-7. Como essa é uma função polinomial, o limite é obtido substituindo x=2:
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} \bigl(-x^{2}+6x-7\bigr) = -2^{2}+6\cdot 2-7.
Agora calculamos passo a passo:
-2^{2} = -4, \qquad 6\cdot 2 = 12,
-4 + 12 -7 = 8 -7 = 1.
Logo
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x).
Quando x\to 2^{-} usamos a fórmula válida para x<2, que é x^{2}-3x-1. Novamente é um polinômio, então substituímos x=2:
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} \bigl(x^{2}-3x-1\bigr) = 2^{2}-3\cdot 2-1.
Calculando passo a passo:
2^{2}=4, \qquad 3\cdot 2=6,
4-6-1 = -2 -1 = -3.
Portanto
\lim_{x\to 2^{-}} f(x) = -3.

Passo 5

Comparação e conclusão para o limite total.
Encontramos
\lim_{x\to 2^{-}} f(x) = -3 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 2^{+}} f(x) = 1.
Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) não existe. (Observação útil: o valor da própria função em x=2 é f(2)=1, que coincide com o limite pela direita, mas isso não basta — os dois limites laterais têm de ser iguais para que o limite bilateral exista.)

Resposta

(a) \displaystyle 1
(b) \displaystyle -3
(c) não existe — limites laterais diferentes: \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-3 e \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=1

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