Dada uma carga trifásica equilibrada constituída por três impedâncias iguais de 20 / 50^{\circ} \Omega (cada uma), alimentada por um sistema trifásico simétrico, ligação \Delta, com sequência de fases A-B-C e sabendo-se que I_{C B}=22 \underline{0} A, pede-se calcular:
a) as correntes de fase I_{A B}, I_{B C} e I_{C A};
b) as correntes de linha I_{A}, I_{B} e I_{C};
c) as tensões de linha V_{A B}, V_{B C} e V_{C A}.
a) I_{A B}=22 \mid-60^{\circ} \mathrm{A}
I_{B C}=22 \mid-180^{\circ} \mathrm{A}
I_{C A}=22 \mid 60^{\circ} \mathrm{A}
b) I_{A}=38 \mid-90^{\circ} \mathrm{A}
I_{B}=38 \mid 150^{\circ} \mathrm{A}
I_{C}=38 \mid 30^{\circ} \mathrm{A}
c) V_{A B}=440 \mid-10^{\circ} \mathrm{V}
V_{B C}=440 \mid-130^{\circ} \mathrm{V}
V_{C A}=440 \mid 110^{\circ} \mathrm{V}

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (só identificar o que é pedido e o que foi dado):
  • Temos uma carga trifásica equilibrada, em ligação \Delta, composta por três impedâncias iguais:
Z = 20\angle 50^\circ\\ \Omega \text{ (cada uma)}
  • Sistema trifásico simétrico com sequência de fases A-B-C.
  • Foi dada a corrente de um dos ramos: \;I_{CB} = 22\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Pede-se:
    a) as correntes de fase (correntes nos ramos do \Delta): \;I_{AB},\; I_{BC},\; I_{CA}.
    b) as correntes de linha: \;I_A,\; I_B,\; I_C.
    c) as tensões de linha (tensões de linha a linha sobre cada impedância): \;V_{AB},\; V_{BC},\; V_{CA}.

Passo 2

Entendendo orientação e relação entre I_{CB} e I_{BC} (atenção à ordem dos índices):
  • A notação I_{CB} significa corrente do ponto C para B. Logo
I_{BC} = -\,I_{CB}.
  • Aplicando ao valor dado:
I_{BC} = -\,22\angle 0^\circ = 22\angle 180^\circ = 22\angle -180^\circ\\ \mathrm{A}.
(Explicação física rápida: inverter sentido equivale a girar o fasor em 180^\circ.)

Passo 3

Relação entre as correntes de ramo num \Delta balanceado e sequência A-B-C:
  • Em sistema trifásico simétrico com sequência A-B-C, as correntes (ou tensões) de ramo do \Delta são defasadas de 120^\circ umas das outras seguindo a sequência. Se tomarmos a ordem BC \to AB \to CA, cada uma avança +120^\circ.
  • Assim podemos gerar os outros ramos a partir de \;I_{BC}:
I_{AB} = I_{BC}\angle 120^\circ,\qquad I_{CA} = I_{AB}\angle 120^\circ.

Passo 4

Cálculo explícito das correntes de fase (ramo):
  • Já temos \;I_{BC}=22\angle -180^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Calcule I_{AB}:
I_{AB} = 22\angle -180^\circ \times \angle 120^\circ = 22\angle(-180^\circ+120^\circ)=22\angle -60^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Calcule I_{CA}:
I_{CA} = I_{AB}\times \angle 120^\circ = 22\angle(-60^\circ+120^\circ)=22\angle 60^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Assim, as três correntes de ramo (modulo e fase) ficam:
I_{AB}=22\angle -60^\circ\\ \mathrm{A},\quad I_{BC}=22\angle -180^\circ\\ \mathrm{A},\quad I_{CA}=22\angle 60^\circ\\ \mathrm{A}.
(Comentário didático: cada ramo tem a mesma magnitude porque a carga é equilibrada; só mudam as fases em 120^\circ.)

Passo 5

Relação entre correntes de ramo ( \Delta) e correntes de linha:
  • Em conexão \Delta, a corrente de linha em, por exemplo, fase A é a soma algébrica (vetorial) das correntes dos dois ramos que saem/entram no nó A. Com a convenção usual (ramos AB e CA) temos:
I_A = I_{AB} - I_{CA}.
  • Analogamente:
I_B = I_{BC} - I_{AB},\qquad I_C = I_{CA} - I_{BC}.
(Explicação: os sinais vêm do sentido escolhido para os ramos; é só aplicar KCL no nó do terminal do \Delta.)

Passo 6

Cálculo de I_A com detalhe algébrico (sem pular passos):
  • Usando os valores de I_{AB} e I_{CA}:
I_A = 22\angle -60^\circ - 22\angle 60^\circ.
  • Escrevendo em forma exponencial para subtrair:
I_A = 22\big(e^{-j60^\circ}-e^{j60^\circ}\big).
  • Usando a identidade e^{-j\theta}-e^{j\theta} = -2j\sin\theta com \theta=60^\circ:
I_A = 22\big(-2j\sin 60^\circ\big) = -j\,22\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -j\,22\sqrt{3}.
  • Convertendo para forma fasorial (módulo e ângulo):
|I_A| = 22\sqrt{3}\approx 38{,}1,\qquad \angle(I_A) = -90^\circ.
  • Arredondando para coincidência com as respostas pedidas:
I_A = 38\angle -90^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Cálculo de I_B e I_C (detalhando um dos cálculos e usando simetria para o outro):
  • Para I_B:
I_B = I_{BC} - I_{AB} = 22\angle -180^\circ - 22\angle -60^\circ.
  • Passo a passo em forma retangular: \;e^{-j180^\circ}=-1 e \;e^{-j60^\circ}=\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
I_B = 22\Big(-1 -\big(\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\Big) =22\Big(-\tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big).
  • Calculando módulo e ângulo:
|I_B| = 22\sqrt{\Big(-\tfrac{3}{2}\Big)^2+\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2} =22\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=22\sqrt{3}=22\sqrt{3}\approx 38{,}1,
\angle(I_B)=\arctan\!\Big(\dfrac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{3}{2}}\Big)=\arctan\!\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\big)= -30^\circ,
mas o número complexo -\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2} está no segundo quadrante, então o ângulo é 180^\circ-30^\circ=150^\circ. Logo
I_B = 38\angle 150^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Para I_C podemos usar I_C = - (I_A+I_B) (KCL) ou calcular diretamente:
I_C = I_{CA}-I_{BC} = 22\angle 60^\circ - 22\angle -180^\circ = 22\angle 60^\circ - 22\angle 180^\circ.
Fazendo as contas (ou usando simetria de fases) obtemos
I_C = 38\angle 30^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Resumo das correntes de linha (resultado final da parte b):
  • Portanto:
I_A = 38\angle -90^\circ\\ \mathrm{A},\qquad I_B = 38\angle 150^\circ\\ \mathrm{A},\qquad I_C = 38\angle 30^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 9

Cálculo das tensões de linha sobre cada impedância usando Lei de Ohm em regime fasorial:
  • Para cada ramo do \Delta vale \;V_{XY} = Z\,I_{XY}.
  • Como Z=20\angle 50^\circ\\ \Omega, multiplicar magnitude por 20 e somar ângulos.

Passo 10

Cálculo explícito de V_{AB},V_{BC},V_{CA}:
  • V_{AB} = Z\,I_{AB} = 20\angle 50^\circ\;\cdot\;22\angle -60^\circ = (20\cdot22)\angle(50^\circ-60^\circ)
V_{AB} = 440\angle -10^\circ\\ \mathrm{V}.
  • V_{BC} = Z\,I_{BC} = 20\angle 50^\circ\;\cdot\;22\angle -180^\circ = 440\angle(50^\circ-180^\circ)
V_{BC} = 440\angle -130^\circ\\ \mathrm{V}.
  • V_{CA} = Z\,I_{CA} = 20\angle 50^\circ\;\cdot\;22\angle 60^\circ = 440\angle(50^\circ+60^\circ)
V_{CA} = 440\angle 110^\circ\\ \mathrm{V}.

Resposta

a) I_{A B}=22\angle -60^\circ\\ \mathrm{A}\n I_{B C}=22\angle -180^\circ\\ \mathrm{A}\n I_{C A}=22\angle 60^\circ\\ \mathrm{A}\n
b) I_{A}=38\angle -90^\circ\\ \mathrm{A}\n I_{B}=38\angle 150^\circ\\ \mathrm{A}\n I_{C}=38\angle 30^\circ\\ \mathrm{A}\n
c) V_{A B}=440\angle -10^\circ\\ \mathrm{V}\n V_{B C}=440\angle -130^\circ\\ \mathrm{V}\n V_{C A}=440\angle 110^\circ\\ \mathrm{V}

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