Um sistema trifásico simétrico tem seqüência de fase negativa, A-C-B, e V_{C}=220 / 40^{\circ}. Determinar as tensões V_{A} e V_{B}.
V_{A}=220 /-200^{\circ} \mathrm{V}, \quad V_{B}=220 /-80^{\circ} \mathrm{V}, \quad V_{C}=220 / 40^{\circ} \mathrm{V}

Passo 1

O enunciado dá um sistema trifásico simétrico com sequência de fase negativa, indicada como A–C–B, e informa a tensão de fase V_{C}=220\angle 40^\circ.
O que se pede: determinar as tensões de fase V_{A} e V_{B}.

Passo 2

Entender o que significa “sequência negativa A–C–B” (explicação didática e intuitiva).
  • Em um conjunto trifásico equilibrado, as três tensões têm mesma magnitude e ângulos igualmente espaçados por 120^\circ.
  • Podemos representar uma rotação de 120^\circ com o operador complexo a definido por
a = e^{j120^\circ} \quad\text{(ou seja, \(a\) gira um fasor em \(+120^\circ\))}
  • Propriedades úteis: a^2 = e^{j240^\circ} e a^3 = 1. Essas identidades significam que multiplicar por a aplica um avanço de 120^\circ, por a^2 aplica um avanço de 240^\circ (ou -120°), e três avanços retornam ao mesmo fasor.
  • Para uma sequência negativa A–C–B os relacionamentos entre fasores (em termos de V_A) são:
V_{C} = a^{2} V_{A},\qquad V_{B} = a\,V_{A}.
(Explicação: começando em A e avançando +120^\circ temos C, e avançando mais +120^\circ temos B — isso é a ordem A→C→B.)

Passo 3

Isolar V_{A} usando a relação entre V_{C} e V_{A}.
Partimos de
V_{C} = a^{2} V_{A}.
Multiplicando ambos os lados por a e usando a^3=1 obtemos
a V_{C} = a\cdot a^{2} V_{A} = a^{3} V_{A} = V_{A}.
Portanto
V_{A} = a\,V_{C}.

Passo 4

Calcular numericamente V_{A}.
Como a = 1\angle 120^\circ e V_{C} = 220\angle 40^\circ, multiplicação de fasores soma os ângulos:
V_{A} = 220\angle(40^\circ + 120^\circ) = 220\angle 160^\circ.
Para uma apresentação usual podemos também expressar o ângulo em formato negativo subtraindo 360^\circ:
160^\circ - 360^\circ = -200^\circ,
logo
V_{A} = 220\angle -200^\circ.

Passo 5

Determinar V_{B}. Usamos V_{B}=a\,V_{A} ou diretamente V_{B}=a^{2}V_{C}. Vou usar a forma direta com V_{C}:
V_{B} = a^{2} V_{C}.
Como a^{2}=1\angle 240^\circ,
V_{B} = 220\angle(40^\circ + 240^\circ) = 220\angle 280^\circ.
Convertendo para ângulo negativo:
280^\circ - 360^\circ = -80^\circ,
portanto
V_{B} = 220\angle -80^\circ.

Passo 6

Resumo rápido e verificação (didática breve): as três tensões ficam com mesmo módulo 220 V e ângulos -200^\circ ( V_A), -80^\circ ( V_B) e 40^\circ ( V_C). Entre elas há espaçamentos de 120^\circ seguindo a ordem A → C → B quando se avança em +120^\circ, confirmando que a sequência é negativa como dado.

Resposta

V_{A}=220\angle -200^\circ\\ \mathrm{V}
V_{B}=220\angle -80^\circ\\ \mathrm{V}

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