| Exercício 2.1.
Encontre o campo elétrico no ponto \mathrm{P}(0,1,2) devido a distribuição uniforme de 8 cargas iguais, de 2 nC , ao redor de um circulo de raio 2 , no plano z=0. Considere uma das cargas posicionada ao longo de eixo x.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o campo elétrico no ponto P(0,1,2) devido a oito cargas puntiformes idênticas, cada uma com q=2\,\mathrm{nC}, distribuídas uniformemente ao redor de um círculo de raio R=2 no plano z=0. Foi dito que uma das cargas está ao longo do eixo x (ou seja, em \theta=0).\n
Informações dadas:
q=2\times10^{-9}\,\mathrm{C},\qquad R=2,\qquad P=(0,1,2),\qquad \text{número de cargas}=8.ú
Pergunta objetiva: calcular \vec E(P), o campo elétrico vetorial no ponto P.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (superposição + lei de Coulomb). A contribuição de uma carga puntiforme q em posição \vec r' para o campo em \vec r é
\vec E(\vec r)=k\,q\,\frac{\vec r-\vec r'}{\lvert \vec r-\vec r'\rvert^{3}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}. Aqui:
  • \vec r é a posição do ponto onde avaliamos o campo (aqui \vec r_P=(0,1,2));
  • \vec r' é a posição da carga fonte;
  • \lvert \vec r-\vec r'\rvert é a distância entre fonte e ponto de campo.
    Pelo princípio da superposição, o campo total é a soma vetorial das contribuições de cada carga:
\vec E_{\text{total}}=kq\sum_{j=0}^{7}\frac{\vec r_P-\vec r_j}{\lvert \vec r_P-\vec r_j\rvert^{3}}.
Vou explicar cada termo e calcular a soma.

Passo 3

Posição das cargas e expressão para o vetor deslocamento.
  • Colocamos a j-ésima carga em \theta_{j}=j\frac{\pi}{4} para j=0,\dots,7.
  • A posição da j-ésima carga é
\vec r_j=(R\cos\theta_j,\;R\sin\theta_j,\;0).
  • O vetor do ponto P até a carga é \vec r_P-\vec r_j. Substituindo R=2 e \vec r_P=(0,1,2),
\vec r_P-\vec r_j = (-2\cos\theta_j,\;1-2\sin\theta_j,\;2).
Agora calculemos o quadrado da distância \lvert \vec r_P-\vec r_j\rvert^{2}:
\begin{aligned} \lvert \vec r_P-\vec r_j\rvert^{2} &= (-2\cos\theta_j)^{2}+(1-2\sin\theta_j)^{2}+2^{2}\\[4pt] &=4\cos^{2}\theta_j + \bigl(1 -4\sin\theta_j +4\sin^{2}\theta_j\bigr)+4\\[4pt] &=4(\cos^{2}\theta_j+\sin^{2}\theta_j)+1-4\sin\theta_j+4\\[4pt] &=4\cdot 1 +1+4 -4\sin\theta_j\\[4pt] &=9-4\sin\theta_j. \end{aligned}
Observação importante: a dependência simplifica muito — a distância ao quadrado depende apenas de \sin\theta_j:
\lvert \vec r_P-\vec r_j\rvert = \sqrt{9-4\sin\theta_j}.
Portanto a contribuição da j-ésima carga é
\vec E_j = kq\,\frac{(-2\cos\theta_j,\;1-2\sin\theta_j,\;2)}{(9-4\sin\theta_j)^{3/2}}.
E o campo total é
\vec E = kq\sum_{j=0}^{7}\frac{(-2\cos\theta_j,\;1-2\sin\theta_j,\;2)}{(9-4\sin\theta_j)^{3/2}}.]

Passo 4

Usando simetria para simplificar componentes: análise da componente x.
  • Para cada ângulo \theta há um ângulo simétrico \pi-\theta entre as oito posições; note que \sin(\pi-\theta)=\sin\theta e \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta.
  • Assim, os denominadores (9-4\sin\theta)^{3/2} são iguais para o par \theta e \pi-\theta, enquanto as componentes em x (proporcionais a -2\cos\theta) têm sinais opostos. Logo, as contribuições em x desse par somam zero.
  • Fazendo isso para todos os pares simétricos ao redor do eixo y, obtemos
E_x=0.
(Em palavras: a configuração é simétrica em relação ao plano y\!z, e como P tem x=0 não há razão física para um campo resultante com componente x.)

Passo 5

Cálculo explícito das componentes y e z (soma numérica). Vamos definir
f(\theta)=\frac{1}{(9-4\sin\theta)^{3/2}}.
Então, internamente à soma (antes de multiplicar por kq) temos as componentes:
S_x=\sum_{j}(-2\cos\theta_j)f(\theta_j),\quad S_y=\sum_{j}\bigl(1-2\sin\theta_j\bigr)f(\theta_j),\quad S_z=\sum_{j}2\,f(\theta_j).
Já vimos que S_x=0. Vamos calcular S_y e S_z numericamente avaliando \theta_j=j\pi/4 para j=0,\dots,7. Abaixo listo os valores essenciais (uso aproximações decimais para seno/cosseno conhecidos):
Para \theta_j\in\{0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi,\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{7\pi}{4}\} temos \sin\theta_j e \cos\theta_j conhecidos. Calculando D_j=9-4\sin\theta_j, depois D_j^{3/2} e f_j=1/D_j^{3/2}, obtemos numericamente (apresento valores arredondados com precisão adequada para soma):
\begin{aligned} f(0)&\approx 0,037037,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)&\approx 0,065212,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)&\approx 0,089443,\\\ f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)&\approx 0,065212,\\\ f(\pi)&\approx 0,037037,\\\ f\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)&\approx 0,024584,\\\ f\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)&\approx 0,021331,\\\ f\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr)&\approx 0,024584. \end{aligned}
Agora as somas internas:
\begin{aligned} S_y &= \sum_{j=0}^{7}\bigl(1-2\sin\theta_j\bigr)f(\theta_j) \approx 0,113317,\\[4pt] S_z &= \sum_{j=0}^{7}2\,f(\theta_j) =2\sum_{j=0}^{7}f(\theta_j) \approx 0,728879. \end{aligned}
(Detalhe dos termos: os termos negativos vêm das cargas com \sin\theta positivo grande — por exemplo \theta=\tfrac{\pi}{2} — e os positivos de \sin\theta negativo; ao somar tudo obtém-se os números acima. Já confirmei que a soma em x numérica dá zero dentro do erro de arredondamento.)]

Passo 6

Multiplicando pelo fator kq para obter o campo físico:
  • Tomamos k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8,98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Como q=2\times10^{-9}\,\mathrm{C}, temos
kq \approx 8,98755179\times10^{9}\times 2\times10^{-9}\approx 17,97510358.
Portanto as componentes do campo são
E_x = kq\,S_x = 17,97510358\times 0 = 0,
E_y = kq\,S_y \approx 17,97510358\times 0,113317 \approx 2,0369\\ \mathrm{N/C},
E_z = kq\,S_z \approx 17,97510358\times 0,728879 \approx 13,1017\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos) obtemos os valores finais.

Resposta

\vec E(P)\approx \bigl(0,\;2,037,\;13,102\bigr)\\ \mathrm{N/C}.

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