| Exercício 2.1.
Encontre o campo elétrico no ponto
devido a distribuição uniforme de 8 cargas iguais, de 2 nC , ao redor de um circulo de raio 2 , no plano
. Considere uma das cargas posicionada ao longo de eixo
.
Encontre o campo elétrico no ponto
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o campo elétrico no ponto
devido a oito cargas puntiformes idênticas, cada uma com
, distribuídas uniformemente ao redor de um círculo de raio
no plano
. Foi dito que uma das cargas está ao longo do eixo
(ou seja, em
).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta objetiva: calcular
, o campo elétrico vetorial no ponto
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (superposição + lei de Coulomb). A contribuição de uma carga puntiforme
em posição
para o campo em
é
onde
. Aqui:
-
é a posição do ponto onde avaliamos o campo (aqui ); -
é a posição da carga fonte; -
é a distância entre fonte e ponto de campo.
Pelo princípio da superposição, o campo total é a soma vetorial das contribuições de cada carga:
Vou explicar cada termo e calcular a soma.
Passo 3
Posição das cargas e expressão para o vetor deslocamento.
- Colocamos a
-ésima carga em para . - A posição da
-ésima carga é
- O vetor do ponto
até a carga é . Substituindo e ,
Agora calculemos o quadrado da distância
:
Observação importante: a dependência simplifica muito — a distância ao quadrado depende apenas de
:
Portanto a contribuição da
-ésima carga é
E o campo total é
Passo 4
Usando simetria para simplificar componentes: análise da componente
.
- Para cada ângulo
há um ângulo simétrico entre as oito posições; note que e . - Assim, os denominadores
são iguais para o par e , enquanto as componentes em (proporcionais a ) têm sinais opostos. Logo, as contribuições em desse par somam zero. - Fazendo isso para todos os pares simétricos ao redor do eixo
, obtemos
(Em palavras: a configuração é simétrica em relação ao plano
, e como
tem
não há razão física para um campo resultante com componente
.)
Passo 5
Cálculo explícito das componentes
e
(soma numérica). Vamos definir
Então, internamente à soma (antes de multiplicar por
) temos as componentes:
Já vimos que
. Vamos calcular
e
numericamente avaliando
para
. Abaixo listo os valores essenciais (uso aproximações decimais para seno/cosseno conhecidos):
Para
temos
e
conhecidos. Calculando
, depois
e
, obtemos numericamente (apresento valores arredondados com precisão adequada para soma):
Agora as somas internas:
(Detalhe dos termos: os termos negativos vêm das cargas com
positivo grande — por exemplo
— e os positivos de
negativo; ao somar tudo obtém-se os números acima. Já confirmei que a soma em
numérica dá zero dentro do erro de arredondamento.)]
Passo 6
Multiplicando pelo fator
para obter o campo físico:
- Tomamos
. - Como
, temos
Portanto as componentes do campo são
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos) obtemos os valores finais.