Dada a densidade de fluxo \mathbf{D}=\frac{16}{r} \cos (2 \theta) \mathbf{a}_{\theta} \mathbf{C} / \mathrm{m}^{2}, use dois métodos diferentes para calcular a carga total dentro da região 1<r<2 \mathrm{~m}, 1<\theta<2 \mathrm{rad}, 1<\varphi<2 \mathrm{rad}.
O campo \mathbf{D} tem apenas componente na direção \mathbf{a}_\theta e depende de r e \theta como \dfrac{16}{r}\cos(2\theta).
O volume de integração é o paralelepípedo em coordenadas esféricas limitado por r=1 e r=2; \theta=1 e \theta=2; \varphi=1 e \varphi=2.
A carga total livre dentro da região é dada por Q=\displaystyle\iiint_V \rho_v\,dV, onde a densidade volumétrica \rho_v é \rho_v=\nabla\!\cdot\!\mathbf{D}.
O exercício pede para calcular Q por dois métodos diferentes.
Passo 2
Método 1 — usar a divergência para obter \rho_v e integrar no volume.
Primeiro, recordando a fórmula da divergência em coordenadas esféricas: para um vetor com componentes (A_r,A_\theta,A_\varphi) em (\mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi),
Aqui A_r é a componente radial, A_\theta é a componente polar (direção de \theta) e A_\varphi a componente azimutal; r,\theta,\varphi são as coordenadas esféricas usuais.
Método 2 — aplicar o teorema da divergência (Gauss) e calcular fluxo pela fronteira.
O teorema diz que a carga total no volume é igual ao fluxo de \mathbf{D} através da superfície fechada que limita o volume:
Q=\iint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}.
A superfície \partial V tem seis “faces” (duas em r, duas em \theta e duas em \varphi). Vamos analisar quais contribuem:
Faces em r=1 e r=2: o vetor normal é paralelo a \mathbf{a}_r. Como \mathbf{D} tem apenas componente em \mathbf{a}_\theta, temos \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_r=0. Logo nenhum fluxo por r=1 e r=2.
Faces em \varphi=1 e \varphi=2: o normal é \pm\mathbf{a}_\varphi. Novamente \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_\varphi=0. Então nenhum fluxo por estas faces.
Restam as faces \theta=1 e \theta=2: aí o normal é \pm\mathbf{a}_\theta e \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_\theta\neq0, portanto apenas essas duas faces contribuem.
Para uma superfície \theta= const, o elemento de área vetorial é
Como r varia de 1 a 2 e \varphi de 1 a 2, os fatores de integração dão 1\cdot1=1. Para \theta=2 o normal de saída do volume é +\mathbf{a}_\theta, para \theta=1 o normal de saída é -\mathbf{a}_\theta. Portanto o fluxo total é