Dada a densidade de fluxo \mathbf{D}=\frac{16}{r} \cos (2 \theta) \mathbf{a}_{\theta} \mathbf{C} / \mathrm{m}^{2}, use dois métodos diferentes para calcular a carga total dentro da região 1<r<2 \mathrm{~m}, 1<\theta<2 \mathrm{rad}, 1<\varphi<2 \mathrm{rad}.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de fluxo
\mathbf{D}=\frac{16}{r}\cos(2\theta)\,\mathbf{a}_\theta\\ \text{C/m}^2
e pede a carga total contida na região definida por
1<r<2\\ \text{m},\qquad 1<\theta<2\\ \text{rad},\qquad 1<\varphi<2\\ \text{rad}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O campo \mathbf{D} tem apenas componente na direção \mathbf{a}_\theta e depende de r e \theta como \dfrac{16}{r}\cos(2\theta).
  • O volume de integração é o paralelepípedo em coordenadas esféricas limitado por r=1 e r=2; \theta=1 e \theta=2; \varphi=1 e \varphi=2.
  • A carga total livre dentro da região é dada por Q=\displaystyle\iiint_V \rho_v\,dV, onde a densidade volumétrica \rho_v é \rho_v=\nabla\!\cdot\!\mathbf{D}.
    O exercício pede para calcular Q por dois métodos diferentes.

Passo 2

Método 1 — usar a divergência para obter \rho_v e integrar no volume.
Primeiro, recordando a fórmula da divergência em coordenadas esféricas: para um vetor com componentes (A_r,A_\theta,A_\varphi) em (\mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi),
\nabla\!\cdot\!\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^2 A_r\big) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,A_\theta\big) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial\varphi}.
Aqui A_r é a componente radial, A_\theta é a componente polar (direção de \theta) e A_\varphi a componente azimutal; r,\theta,\varphi são as coordenadas esféricas usuais.
No nosso caso:
A_r=0,\qquad A_\theta=\frac{16}{r}\cos(2\theta),\qquad A_\varphi=0.
Então apenas o segundo termo contribui:
\rho_v=\nabla\!\cdot\!\mathbf{D} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\Big(\sin\theta\cdot\frac{16}{r}\cos(2\theta)\Big).
Como \dfrac{16}{r} é independente de \theta, fatoramos:
\rho_v=\frac{16}{r^2}\cdot\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\big(\sin\theta\cos(2\theta)\big).

Passo 3

Continuando o Método 1 — derivada trigonométrica e simplificação.
Calcule a derivada:
\frac{d}{d\theta}\big(\sin\theta\cos(2\theta)\big) = \cos\theta\cos(2\theta) + \sin\theta\cdot(-2\sin(2\theta)) = \cos\theta\cos(2\theta) - 2\sin\theta\sin(2\theta).
Portanto
\rho_v=\frac{16}{r^2}\left(\frac{\cos\theta\cos(2\theta)}{\sin\theta}-2\sin(2\theta)\right) = \frac{16}{r^2}\big(\cot\theta\cos(2\theta)-2\sin(2\theta)\big).
Agora a carga total é
Q=\iiint_V \rho_v\,dV =\int_{\varphi=1}^{2}\int_{\theta=1}^{2}\int_{r=1}^{2}\rho_v\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Substituindo \rho_v e observando que o fator r^2 cancela:
\rho_v\,r^2\sin\theta =16\big(\cot\theta\cos(2\theta)-2\sin(2\theta)\big)\sin\theta =16\big(\cos\theta\cos(2\theta)-2\sin\theta\sin(2\theta)\big).
Note que isto não depende de r nem de \varphi. Assim a integração em r e \varphi é direta:
\int_{r=1}^{2}dr=1,\qquad \int_{\varphi=1}^{2}d\varphi=1,
e ficamos com
Q=16\int_{\theta=1}^{2}\big(\cos\theta\cos(2\theta)-2\sin\theta\sin(2\theta)\big)\,d\theta.

Passo 4

Ainda Método 1 — simplificação trigonométrica e cálculo da integral em \theta.
Usamos identidades de produto para somas:
\cos\theta\cos(2\theta)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(3\theta)+\cos\theta\big), \qquad \sin\theta\sin(2\theta)=\tfrac{1}{2}\big(\cos\theta-\cos(3\theta)\big).
Substituindo:
\cos\theta\cos(2\theta)-2\sin\theta\sin(2\theta) =\tfrac{1}{2}\cos(3\theta)+\tfrac{1}{2}\cos\theta -2\cdot\tfrac{1}{2}(\cos\theta-\cos(3\theta))
=\tfrac{3}{2}\cos(3\theta)-\tfrac{1}{2}\cos\theta.
Logo
Q=16\int_{1}^{2}\Big(\tfrac{3}{2}\cos(3\theta)-\tfrac{1}{2}\cos\theta\Big)\,d\theta =16\left[\tfrac{1}{2}\sin(3\theta)-\tfrac{1}{2}\sin\theta\right]_{\theta=1}^{2}.
Avalie nos limites:
Q=16\cdot\tfrac{1}{2}\big(\sin(6)-\sin(2)-\sin(3)+\sin(1)\big) =8\big(\sin 6 - \sin 2 - \sin 3 + \sin 1\big)\\ \text{C}.
Podemos também dar o valor numérico aproximado (seno em radianos):
Q\approx 8\big(-0,2794155-0,9092974-0,1411200+0,8414710\big) \approx -3,9069\\ \text{C}.

Passo 5

Método 2 — aplicar o teorema da divergência (Gauss) e calcular fluxo pela fronteira.
O teorema diz que a carga total no volume é igual ao fluxo de \mathbf{D} através da superfície fechada que limita o volume:
Q=\iint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}.
A superfície \partial V tem seis “faces” (duas em r, duas em \theta e duas em \varphi). Vamos analisar quais contribuem:
  • Faces em r=1 e r=2: o vetor normal é paralelo a \mathbf{a}_r. Como \mathbf{D} tem apenas componente em \mathbf{a}_\theta, temos \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_r=0. Logo nenhum fluxo por r=1 e r=2.
  • Faces em \varphi=1 e \varphi=2: o normal é \pm\mathbf{a}_\varphi. Novamente \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_\varphi=0. Então nenhum fluxo por estas faces.
  • Restam as faces \theta=1 e \theta=2: aí o normal é \pm\mathbf{a}_\theta e \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_\theta\neq0, portanto apenas essas duas faces contribuem.
Para uma superfície \theta= const, o elemento de área vetorial é
d\mathbf{S}= \pm r\sin\theta\,dr\,d\varphi\\ \mathbf{a}_\theta,
onde o sinal (+) corresponde ao normal em direção de \mathbf{a}_\theta (aumentando \theta) e (-) ao normal em -\mathbf{a}_\theta.
O fluxo através de \theta=\theta_0 é
\Phi(\theta_0)=\iint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} =\iint \frac{16}{r}\cos(2\theta_0)\,\mathbf{a}_\theta\cdot(\pm r\sin\theta_0\,dr\,d\varphi\,\mathbf{a}_\theta)
=\pm\iint 16\cos(2\theta_0)\sin\theta_0\,dr\,d\varphi = \pm 16\cos(2\theta_0)\sin\theta_0\cdot\big(r\big|_{1}^{2}\big)\cdot(\varphi\big|_{1}^{2}).
Como r varia de 1 a 2 e \varphi de 1 a 2, os fatores de integração dão 1\cdot1=1. Para \theta=2 o normal de saída do volume é +\mathbf{a}_\theta, para \theta=1 o normal de saída é -\mathbf{a}_\theta. Portanto o fluxo total é
Q=\Phi(\theta=2)+\Phi(\theta=1) =16\cos(4)\sin(2)-16\cos(2)\sin(1).
Usando a identidade \sin x\cos y=\tfrac{1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)]
16\cos(4)\sin(2)-16\cos(2)\sin(1) =8(\sin 6-\sin 2-\sin 3+\sin 1),
que coincide exatamente com o resultado do Método 1. Numérico:
Q\approx -3,9069\\ \text{C}.

Resposta

Q=8\big(\sin 6-\sin 2-\sin 3+\sin 1\big)\\ \text{C}
Q\approx -3,9069\\ \text{C}

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