(F) Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas puntiformes +q e -q(q>0) separadas por uma distância d. Esse dipolo está imerso em uma região de campo elétrico uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{E}} e o vetor momento de dipolo elétrico associado \overrightarrow{\boldsymbol{p}} faz um ângulo \varphi com \vec{E}.
(a) Utilizando o resultado obtido em aula para a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo uniforme, mostre que a energia potencial da interação do dipolo com o campo pode ser escrita como:
U=-p E \cos \varphi=-\overrightarrow{\boldsymbol{p}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{E}}
onde p=|\overrightarrow{\boldsymbol{p}}|=q d.
(b) Faça um gráfico de U(\varphi). Em qual orientação o dipolo está em equilíbrio estável? E em equilíbrio instável?

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um dipolo formado por duas cargas puntiformes +q e -q com q>0, separadas por uma distância d.
  • O dipolo está em um campo elétrico uniforme \overrightarrow{E}.
  • O vetor momento de dipolo elétrico \overrightarrow{p} faz um ângulo \varphi com \overrightarrow{E}.
    O que o enunciado pede:
    (a) Mostrar que a energia potencial da interação dipolo–campo é
U=-pE\cos\varphi=-\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{E},
onde p=|\overrightarrow{p}|=qd.
(b) Fazer o gráfico de U(\varphi) e dizer em qual orientação o dipolo está em equilíbrio estável e em qual está em equilíbrio instável.

Passo 2

Lembrete teórico necessário (aula usada): energia potencial de uma carga puntiforme num campo elétrico uniforme.
  • Para um campo uniforme \overrightarrow{E} pode-se escolher um potencial elétrico \,V(\overrightarrow{r}) tal que a diferença de potencial entre dois pontos é
V(\overrightarrow{r}_b)-V(\overrightarrow{r}_a)=-\int_{a}^{b}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\ell}.
Como \overrightarrow{E} é constante, isso dá
V(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{r}+C,
onde C é uma constante arbitrária (não afeta forças nem diferenças de energia). A energia potencial de uma carga q em \overrightarrow{r} é
U_q = q\,V(\overrightarrow{r}) = -q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{r} + qC.
Explicação rápida: q multiplica o potencial; o sinal vem da definição de diferença de potencial e do trabalho feito pelo campo.

Passo 3

Posicionamento das cargas do dipolo e definição de vetores:
  • Chame \overrightarrow{r}_+ a posição da carga +q e \overrightarrow{r}_- a posição da carga -q.
  • Defina o vetor que vai de -q a +q por \overrightarrow{d}=\overrightarrow{r}_+ - \overrightarrow{r}_-. Pela definição de dipolo elétrico, o vetor momento é
\overrightarrow{p}=q\,\overrightarrow{d}.
Note que |\overrightarrow{d}|=d e portanto p=qd.

Passo 4

Calcular a energia potencial total do dipolo como soma das energias das duas cargas:
  • Energia da carga +q:
U_+ = q\,V(\overrightarrow{r}_+) = -q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{r}_+ + qC.
  • Energia da carga -q:
U_- = (-q)\,V(\overrightarrow{r}_-) = +q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{r}_- - qC.
Somando,
U = U_+ + U_- = -q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{r}_+ + q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{r}_-.
Fatorando \overrightarrow{E},
U = -q\,\overrightarrow{E}\cdot(\overrightarrow{r}_+ - \overrightarrow{r}_-) = -q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{d}.
Usando \overrightarrow{p}=q\overrightarrow{d} obtemos a forma vetorial final:
U = -\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{E}.
Para passar à forma escalar em função do ângulo \varphi entre \overrightarrow{p} e \overrightarrow{E}, usamos a definição do produto escalar:
\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{E}=pE\cos\varphi.
Logo
U = -pE\cos\varphi.
Comentário didático: a constante C do potencial cancelou na soma das energias, como deveria acontecer — só diferenças de potencial importam fisicamente.

Passo 5

Análise do comportamento como função de \varphi e gráfico qualitativo.
  • A expressão encontrada é
U(\varphi) = -pE\cos\varphi.
  • Esta é uma função harmônica (coseno) multiplicada por -pE. É periódica com período 2\pi, amplitude pE.
  • Valores importantes:
    • \varphi=0: \cos 0 = 1 então U(0)=-pE (valor mínimo possível).
    • \varphi=\pi: \cos\pi=-1 então U(\pi)=+pE (valor máximo possível).
      Gráfico qualitativo: é a curva -pE\cos\varphi — isto é, um cosseno invertido; em \varphi=0 tem mínimo -pE, em \varphi=\pi máximo +pE, e repete a cada 2\pi.

Passo 6

Estabilidade através de derivadas (teste padrão):
  • Derivada primeira:
\frac{dU}{d\varphi}=pE\sin\varphi.
As posições críticas ocorrem quando \sin\varphi=0, ou seja \varphi=0,\pi,2\pi,\ldots.
  • Derivada segunda:
\frac{d^2U}{d\varphi^2}=pE\cos\varphi.
Avaliação:
  • Em \varphi=0: \frac{d^2U}{d\varphi^2}=pE>0 → ponto de mínimo → equilíbrio estável.
  • Em \varphi=\pi: \frac{d^2U}{d\varphi^2}=-pE<0 → ponto de máximo → equilíbrio instável.
    Interpretação física simples: quando \overrightarrow{p} está alinhado com \overrightarrow{E} ( \varphi=0) o sistema tem energia mínima e pequenas perturbações aumentam a energia (o dipolo tende a voltar) — estável. Quando \overrightarrow{p} está anti-alinhado ( \varphi=\pi) a energia é máxima e pequenas perturbações fazem o dipolo girar para reduzir energia — instável.

Resposta

(a) U=-pE\cos\varphi=-\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{E}.
(b) U(\varphi)=-pE\cos\varphi. Equilíbrio estável em \varphi=0 ( \overrightarrow{p} paralelo a \overrightarrow{E} ); equilíbrio instável em \varphi=\pi ( \overrightarrow{p} anti‑paralelo a \overrightarrow{E} ).

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