(F) Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas puntiformes
e
separadas por uma distância
. Esse dipolo está imerso em uma região de campo elétrico uniforme
e o vetor momento de dipolo elétrico associado
faz um ângulo
com
.
(a) Utilizando o resultado obtido em aula para a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo uniforme, mostre que a energia potencial da interação do dipolo com o campo pode ser escrita como:
onde
.
(b) Faça um gráfico de
. Em qual orientação o dipolo está em equilíbrio estável? E em equilíbrio instável?
(a) Utilizando o resultado obtido em aula para a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo uniforme, mostre que a energia potencial da interação do dipolo com o campo pode ser escrita como:
(b) Faça um gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um dipolo formado por duas cargas puntiformes
e com , separadas por uma distância . - O dipolo está em um campo elétrico uniforme
. - O vetor momento de dipolo elétrico
faz um ângulo com .
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que a energia potencial da interação dipolo–campo é
onde
.
(b) Fazer o gráfico de e dizer em qual orientação o dipolo está em equilíbrio estável e em qual está em equilíbrio instável.
(b) Fazer o gráfico de
Passo 2
Lembrete teórico necessário (aula usada): energia potencial de uma carga puntiforme num campo elétrico uniforme.
- Para um campo uniforme
pode-se escolher um potencial elétrico tal que a diferença de potencial entre dois pontos é
Como
é constante, isso dá
onde
é uma constante arbitrária (não afeta forças nem diferenças de energia). A energia potencial de uma carga
em
é
Explicação rápida:
multiplica o potencial; o sinal vem da definição de diferença de potencial e do trabalho feito pelo campo.
Passo 3
Posicionamento das cargas do dipolo e definição de vetores:
- Chame
a posição da carga e a posição da carga . - Defina o vetor que vai de
a por . Pela definição de dipolo elétrico, o vetor momento é
Note que
e portanto
.
Passo 4
Calcular a energia potencial total do dipolo como soma das energias das duas cargas:
- Energia da carga
:
- Energia da carga
:
Somando,
Fatorando
,
Usando
obtemos a forma vetorial final:
Para passar à forma escalar em função do ângulo
entre
e
, usamos a definição do produto escalar:
Logo
Comentário didático: a constante
do potencial cancelou na soma das energias, como deveria acontecer — só diferenças de potencial importam fisicamente.
Passo 5
Análise do comportamento como função de
e gráfico qualitativo.
- A expressão encontrada é
- Esta é uma função harmônica (coseno) multiplicada por
. É periódica com período , amplitude . - Valores importantes:
-
: então (valor mínimo possível). -
: então (valor máximo possível).
Gráfico qualitativo: é a curva— isto é, um cosseno invertido; em tem mínimo , em máximo , e repete a cada .
-
Passo 6
Estabilidade através de derivadas (teste padrão):
- Derivada primeira:
As posições críticas ocorrem quando
, ou seja
.
- Derivada segunda:
Avaliação:
- Em
: → ponto de mínimo → equilíbrio estável. - Em
: → ponto de máximo → equilíbrio instável.
Interpretação física simples: quandoestá alinhado com ( ) o sistema tem energia mínima e pequenas perturbações aumentam a energia (o dipolo tende a voltar) — estável. Quando está anti-alinhado ( ) a energia é máxima e pequenas perturbações fazem o dipolo girar para reduzir energia — instável.
Resposta
(a)
.
(b) . Equilíbrio estável em
(
paralelo a
); equilíbrio instável em
(
anti‑paralelo a
).
(b)