Uma distribuição de carga, com simetria esférica, possui uma densidade de carga dada por
\rho(r)=\rho_{0} \exp \left(-\frac{r}{a}\right)
onde \rho_{0} e a são constantes e r é a distância à origem. Essa expressão pode ser usada para modelar a distribuição da carga eletrônica em um átomo de hidrogênio. Nesse caso, temos que \rho_{0}=\frac{-e}{\pi a_{0}^{3}} e a=\frac{a_{0}}{2}, onde a_{0}=5,29 \times 10^{-11} m é o raio de Bohr
(a) Calcule a carga total do sistema
(b) Mostre que o campo elétrico num ponto qualquer do espaço é dado por
E(r)=\frac{2 a^{3} \rho_{0}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\left\{1-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{r}{a}\right)^{2}+2 \frac{r}{a}+2\right] \exp \left(-\frac{r}{a}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição esfericamente simétrica de densidade de carga:
\rho(r)=\rho_{0}\exp\!\left(-\frac{r}{a}\right),
com constantes \rho_{0} e a. Para o átomo de hidrogênio o enunciado fornece ainda
\rho_{0}=\frac{-e}{\pi a_{0}^{3}},\qquad a=\frac{a_{0}}{2},
onde a_{0}=5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m} é o raio de Bohr e e é a carga elementar.
As perguntas são:
(a) Calcular a carga total do sistema (isto é, a carga contida em todo o espaço).
(b) Mostrar que o campo elétrico em um ponto a distância r da origem é
E(r)=\frac{2 a^{3} \rho_{0}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\left\{1-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{r}{a}\right)^{2}+2 \frac{r}{a}+2\right] \exp \left(-\frac{r}{a}\right)\right\}.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar como calcular a carga total a partir da densidade de carga. A densidade volumétrica \rho(r) é carga por unidade de volume. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Como a distribuição é esfericamente simétrica, a integral sobre os ângulos dá 4\pi. Assim a carga total Q é
Q=\int_{\text{todo o espaço}}\rho(r)\,dV = 4\pi\int_{0}^{\infty}\rho(r)\,r^{2}\,dr.ç
Esta é a expressão que vamos calcular explicitamente substituindo \rho(r).

Passo 2

Substituindo \rho(r)=\rho_{0}e^{-r/a} na integral:
Q=4\pi\rho_{0}\int_{0}^{\infty} r^{2} e^{-r/a}\,dr.
Para avaliar a integral imprima uma mudança de variável conveniente. Seja x=\dfrac{r}{a}. Então r=a x e dr=a\,dx. Assim
\int_{0}^{\infty} r^{2} e^{-r/a}\,dr = a^{3}\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx.
A integral \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx é uma integral conhecida (é a função Gamma de ordem 3): \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx = 2!\,=2. Portanto
\int_{0}^{\infty} r^{2} e^{-r/a}\,dr = 2 a^{3}.

Passo 3

Substituindo no resultado para Q:
Q = 4\pi \rho_{0} \cdot 2 a^{3} = 8\pi a^{3}\rho_{0}.
Este é o valor geral da carga total em função de \rho_{0} e a.
Agora substituímos os valores dados para o átomo de hidrogênio: \rho_{0}=\dfrac{-e}{\pi a_{0}^{3}} e a=\dfrac{a_{0}}{2}. Então
Q = 8\pi \left(\frac{a_{0}}{2}\right)^{3}\cdot\frac{-e}{\pi a_{0}^{3}}.
Calculemos passo a passo:
\left(\frac{a_{0}}{2}\right)^{3}=\frac{a_{0}^{3}}{8},
portanto
Q = 8\pi \cdot \frac{a_{0}^{3}}{8}\cdot\frac{-e}{\pi a_{0}^{3}} = -e.
Ou seja, para os valores do átomo de hidrogênio a carga total é -e, como esperado (a densidade dada modela a nuvem eletrônica que possui carga -e).

Passo 4

Agora vamos ao campo elétrico E(r). Para uma distribuição esfericamente simétrica podemos usar a lei de Gauss na forma integral. A lei de Gauss (no vácuo) diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga encerrada dividido por \varepsilon_{0}:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Para uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na origem o campo tem direção radial e mesma magnitude em toda a superfície, então
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}},
ou seja
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Aqui Q_{\text{enc}}(r) é a carga contida dentro da esfera de raio r:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\int_{0}^{r}\rho(r')\,{r'}^{2}\,dr'.

Passo 5

Vamos calcular Q_{\text{enc}}(r) substituindo \rho(r')=\rho_{0}e^{-r'/a}:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r} {r'}^{2} e^{-r'/a}\,dr'.
Fazemos novamente a mudança de variável x=\dfrac{r'}{a}, r'=a x, dr'=a\,dx. Então
\int_{0}^{r} {r'}^{2} e^{-r'/a}\,dr' = a^{3}\int_{0}^{r/a} x^{2} e^{-x}\,dx.
Precisamos agora da primitiva de x^{2}e^{-x}. Uma primitiva é
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -e^{-x}\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)+C.
Uma forma de verificar é derivar: ao derivar -e^{-x}(x^{2}+2x+2) obtém-se x^{2}e^{-x}. Agora aplicamos os limites de 0 a \dfrac{r}{a}. Assim
\int_{0}^{r/a} x^{2} e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)\right]_{0}^{r/a} = -e^{-r/a}\Bigl(\bigl(\tfrac{r}{a}\bigr)^{2}+2\frac{r}{a}+2\Bigr) + 2.
Multiplicando por a^{3} obtemos
\int_{0}^{r} {r'}^{2} e^{-r'/a}\,dr' = a^{3}\left[\,2 - e^{-r/a}\Bigl(\bigl(\tfrac{r}{a}\bigr)^{2}+2\frac{r}{a}+2\Bigr)\right].

Passo 6

Substituindo em Q_{\text{enc}}(r):
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\rho_{0} a^{3}\left[\,2 - e^{-r/a}\Bigl(\bigl(\tfrac{r}{a}\bigr)^{2}+2\frac{r}{a}+2\Bigr)\right].
Agora usamos a relação entre E(r) e Q_{\text{enc}}(r):
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = \frac{4\pi\rho_{0} a^{3}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\left[\,2 - e^{-r/a}\Bigl(\bigl(\tfrac{r}{a}\bigr)^{2}+2\frac{r}{a}+2\Bigr)\right].
Cancelando 4\pi
E(r)=\frac{\rho_{0} a^{3}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\left[\,2 - e^{-r/a}\Bigl(\bigl(\tfrac{r}{a}\bigr)^{2}+2\frac{r}{a}+2\Bigr)\right].

Passo 7

Colocando o fator 2 em evidência para comparar com a forma pedida:
E(r)=\frac{2 a^{3}\rho_{0}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\left\{1 - \frac{1}{2}\Bigl[\bigl(\tfrac{r}{a}\bigr)^{2}+2\frac{r}{a}+2\Bigr] e^{-r/a}\right\},
que é exatamente a expressão solicitada. Observação física rápida: como \rho_{0} é negativo no caso do hidrogênio, o campo resultante aponta para a origem (direção negativa radial).

Resposta

(a) Q_{\text{total}}=8\pi a^{3}\rho_{0} = -e
(b) E(r)=\frac{2 a^{3} \rho_{0}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\left\{1-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{r}{a}\right)^{2}+2 \frac{r}{a}+2\right] \exp \left(-\frac{r}{a}\right)\right\}

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