Uma distribuição de carga, com simetria esférica, possui uma densidade de carga dada por
onde
e
são constantes e r é a distância à origem. Essa expressão pode ser usada para modelar a distribuição da carga eletrônica em um átomo de hidrogênio. Nesse caso, temos que
e
, onde
é o raio de Bohr
(a) Calcule a carga total do sistema
(b) Mostre que o campo elétrico num ponto qualquer do espaço é dado por
(a) Calcule a carga total do sistema
(b) Mostre que o campo elétrico num ponto qualquer do espaço é dado por
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição esfericamente simétrica de densidade de carga:
com constantes
e
. Para o átomo de hidrogênio o enunciado fornece ainda
onde
é o raio de Bohr e
é a carga elementar.
As perguntas são:
(a) Calcular a carga total do sistema (isto é, a carga contida em todo o espaço).
(b) Mostrar que o campo elétrico em um ponto a distância da origem é
(a) Calcular a carga total do sistema (isto é, a carga contida em todo o espaço).
(b) Mostrar que o campo elétrico em um ponto a distância
Passo 2
Primeiro vamos lembrar como calcular a carga total a partir da densidade de carga. A densidade volumétrica é carga por unidade de volume. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
Primeiro vamos lembrar como calcular a carga total a partir da densidade de carga. A densidade volumétrica
Como a distribuição é esfericamente simétrica, a integral sobre os ângulos dá
. Assim a carga total
é
Esta é a expressão que vamos calcular explicitamente substituindo
.
Passo 2
Substituindo
na integral:
Para avaliar a integral imprima uma mudança de variável conveniente. Seja
. Então
e
. Assim
A integral
é uma integral conhecida (é a função Gamma de ordem
):
. Portanto
Passo 3
Substituindo no resultado para
:
Este é o valor geral da carga total em função de
e
.
Agora substituímos os valores dados para o átomo de hidrogênio:
e
. Então
Calculemos passo a passo:
portanto
Ou seja, para os valores do átomo de hidrogênio a carga total é
, como esperado (a densidade dada modela a nuvem eletrônica que possui carga
).
Passo 4
Agora vamos ao campo elétrico
. Para uma distribuição esfericamente simétrica podemos usar a lei de Gauss na forma integral. A lei de Gauss (no vácuo) diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga encerrada dividido por
:
Para uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada na origem o campo tem direção radial e mesma magnitude em toda a superfície, então
ou seja
Aqui
é a carga contida dentro da esfera de raio
:
Passo 5
Vamos calcular
substituindo
:
Fazemos novamente a mudança de variável
,
,
. Então
Precisamos agora da primitiva de
. Uma primitiva é
Uma forma de verificar é derivar: ao derivar
obtém-se
. Agora aplicamos os limites de
a
. Assim
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Substituindo em
:
Agora usamos a relação entre
e
:
Cancelando
dá
Passo 7
Colocando o fator
em evidência para comparar com a forma pedida:
que é exatamente a expressão solicitada. Observação física rápida: como
é negativo no caso do hidrogênio, o campo resultante aponta para a origem (direção negativa radial).
Resposta
(a)
(b)