Dada a diagonalização da matriz A na forma P^{-1} A P=D, explicite os autovalores de A e bases para os correspondentes autoespaços:
(a) \left(\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}5 & -1 \\\\ 2 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos fornece que
P^{-1}AP = D,
onde
P^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}5 & -1 \\\\ 2 & 2\end{pmatrix},\quad P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix},
e
D = \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix}.
Queremos extrair os autovalores de A e bases para os correspondentes autoespaços.

Passo 2

Como P^{-1}AP = D, as entradas diagonais de D são os autovalores de A. Assim,
\lambda_1 = 4,\quad \lambda_2 = 3.

Passo 3

As colunas de P são autovetores de A associados a cada autovalor. Especificamente:
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{para}\quad \lambda_1 = 4,
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 2\end{pmatrix} \quad\text{para}\quad \lambda_2 = 3.
Logo, bases dos autoespaços são \{v_1\} para \lambda=4 e \{v_2\} para \lambda=3.

Resposta

Autovalores: 4 e 3.
Base do autoespaço \lambda=4: \{(1,1)^T\}.
Base do autoespaço \lambda=3: \{(1,2)^T\}.

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