Dada a diagonalização da matriz A na forma P^{-1} A P=D, explicite os autovalores de A e bases para os correspondentes autoespaços:
(b) \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\\\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\\ \frac{5}{8} & -\frac{3}{8} & \frac{3}{8}\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\\\ 2 & 0 & 2 \\\\ 3 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}3 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & -1 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}6 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a diagonalização
P^{-1} A P = D
com
P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac18 & \frac18 & \frac18\\\\ -\frac14 & \frac34 & -\frac14\\\ \frac58 & -\frac38 & \frac38 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é teoria de diagonalização: os autovalores de A são as entradas da diagonal de D e as colunas de P são vetores próprios de A correspondentes a esses autovalores.

Passo 2

Identificamos então os autovalores de A como as entradas diagonais de D:
\lambda_1 = 6, \quad \lambda_2 = -2, \quad \lambda_3 = -2.

Passo 3

As colunas de P são vetores próprios de A na mesma ordem dos autovalores. Escrevendo
P = \bigl[v_1\;\;v_2\;\;v_3\bigr],
temos
v_1 = \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda_1 = 6, o autoespaço é gerado por v_1. Logo uma base é
\{\, (3,2,3)^T \}.

Passo 5

Para \lambda_2 = -2 (multiplicidade 2), o autoespaço é gerado por v_2 e v_3. Logo uma base é
\{\, (0,1,-1)^T,\;(1,0,-1)^T \}.

Resposta

Autovalores de A:
\displaystyle \lambda=6 (simples) e \displaystyle \lambda=-2 (multiplicidade 2).
Base de E_6: \{(3,2,3)^T\}.
Base de E_{-2}: \{(0,1,-1)^T,\,(1,0,-1)^T\}.

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