Dada a Elipse
(x-1)^{\wedge} 2 / 2^{\wedge} 2+(y-2)^{\wedge} 2 / 3^{\wedge} 2=1 e as retas:
r 1:(y-2) / 3=(x-1) / 2 r 2:(y-2) / 3=-(x-1) / 2 o setor \mathbf{R} delimitado por esta elipse e as retas r1 e r2 no \mathbf{1}^{\circ} quadrante.
Calcule:
■_R [ \left.((x-1) / 2)^{\wedge} 2+((y-2) / 3)^{\wedge} 2\right] dy dx

Passo 1

O problema dá a elipse
\frac{(x-1)^{2}}{2^{2}}+\frac{(y-2)^{2}}{3^{2}}=1
e as retas
r_1:\frac{y-2}{3}=\frac{x-1}{2} \quad\text{e}\quad r_2:\frac{y-2}{3}=-\frac{x-1}{2}
e pede o setor R limitado por essa elipse e pelas retas r_1,r_2 no primeiro quadrante relativo ao centro (1,2), ou seja, em variáveis
u=\frac{x-1}{2},\quad v=\frac{y-2}{3}
será o setor do círculo u^2+v^2\le1 com u\ge0, v\ge0, entre as retas v=u e v=-u. O integrando é
\Bigl(\frac{x-1}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{y-2}{3}\Bigr)^{2}=u^{2}+v^{2}.
Vamos então usar essa mudança de variáveis e depois coordenadas polares.

Passo 2

Com
u=\frac{x-1}{2},\quad v=\frac{y-2}{3},
temos o jacobiano
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix}=6,
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dx\,dy=6\,du\,dv
e o integrando fica u^{2}+v^{2}.

Passo 3

Na região transformada, a elipse vira o disco u^{2}+v^{2}\le1 e as retas viram
v=u\quad(\theta=\tfrac\pi4), \quad v=-u\quad(\theta=-\tfrac\pi4).
No primeiro quadrante em (u,v) isto é \theta\in[0,\pi/2], a interseção com o setor entre -\pi/4 e \pi/4
0\le r\le1, \quad 0\le\theta\le\tfrac\pi4.

Passo 4

O integral original vira
\iint_{R}\Bigl(u^{2}+v^{2}\Bigr)\,dx\,dy =6\iint_{u^{2}+v^{2}\le1,\;0\le\theta\le\pi/4}\!\!(u^{2}+v^{2})\,du\,dv.
Em coordenadas polares u=r\cos\theta,\\ v=r\sin\theta, tem u^{2}+v^{2}=r^{2} e du\,dv=r\,dr\,d\theta.

Passo 5

6\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{1}r^{2}\,(r\,dr\,d\theta) =6\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{1}r^{3}dr\,d\theta =6\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{4}\,d\theta =6\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{6\pi}{16} =\frac{3\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{8}

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