Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(n+1) x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(n+1)\,x^{n}.
O conteúdo envolve determinar o raio de convergência via teste da razão e depois testar a convergência nos extremos x=\pm1.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definindo
a_n = (-1)^{n+1}(n+1),
consideramos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,x^{n+1}}{a_n\,x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}\,\bigl|x\bigr|.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}=1,
fica
L = \lvert x\rvert.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1 (isto é, \lvert x\rvert<1) e diverge se L>1. Logo o raio de convergência é
R = 1.

Passo 4

Testando x=1, a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(n+1).
Os termos gerais (n+1) não tendem a zero, portanto a série diverge em x=1.

Passo 5

Testando x=-1, a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(n+1)(-1)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{2n+1}(n+1) =-\sum_{n=0}^{\infty}(n+1),
cujo termo geral também não tende a zero. Logo diverge em x=-1.

Passo 6

Concluímos que a série converge apenas para
-1 < x < 1.

Resposta

(-1,1)

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