é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-a usando a substituição mencionada no Problema 27(b).
, onde
e
são constantes. Esta equação também aparece no estudo da estabilidade do fluxo de fluidos.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
onde
e
são constantes. A tarefa é resolver essa equação usando a substituição mencionada no Problema 27(b).
Informações dadas:
- A equação é de primeira ordem não linear.
- Constantes parâmetros:
e . - Pede-se a solução geral
(nenhuma condição inicial foi dada).
O que se pede:
- Encontrar a solução geral
da equação acima, aplicando a substituição apropriada para transformar a equação em uma linear.
Passo 2
Identificar a forma de Bernoulli e a substituição padrão.
Uma equação de Bernoulli tem a forma
Uma equação de Bernoulli tem a forma
Para esta equação, basta escrever a equação dada na forma de Bernoulli. Reescrevendo:
Portanto é uma Bernoulli com
,
e expoente
.
A substituição padrão para a equação de Bernoulli é
Aqui
, então escolhemos
Agora vamos derivar
em termos de
para transformar a equação original em uma equação linear para
.
Passo 3
Calcular
em função de
e
, e substituir a equação original.
Começamos por derivar
:
Substituímos
dentro dessa expressão:
Agora simplificamos termo a termo:
Lembrando que
, obtemos a equação linear para
:
Reescrevendo de forma padrão:
Passo 4
Resolver a equação linear de primeira ordem para
:
Para resolver usamos o fator integrante
definido por
Calcule a integral no expoente:
Tomando a constante como zero (padrão para o fator integrante), temos
Multiplicando a equação linear por
transforma o lado esquerdo num total derivado:
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Substituindo
:
onde, para deixar claro, a variável de integração foi renomeada para
dentro da integral.
Passo 5
Voltar à variável original
. Lembre que
, logo
Substituindo a expressão de
e simplificando, observe que
. Assim uma forma mais elegante da solução é
Observações importantes:
- A integral
em geral não tem primitiva elementar simples (exceto em casos especiais, por exemplo ou com manipulações apropriadas). Mantemos a integral indicada para dar a solução geral explícita. - O sinal
aparece porque a substituição perde a informação do sinal de . A constante deve ser tal que o argumento do radical seja positivo para que seja real. - Se for dada uma condição inicial
, ela determina a constante e o sinal apropriado.
Resposta
onde
é constante de integração.