é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-a usando a substituição mencionada no Problema 27(b).
d y / d t=(\Gamma \cos t+T) y-y^{3}, onde \Gamma e T são constantes. Esta equação também aparece no estudo da estabilidade do fluxo de fluidos.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d t}=(\Gamma \cos t+T)\,y-y^{3},
onde \Gamma e T são constantes. A tarefa é resolver essa equação usando a substituição mencionada no Problema 27(b).
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem não linear.
  • Constantes parâmetros: \Gamma e T.
  • Pede-se a solução geral y(t) (nenhuma condição inicial foi dada).
O que se pede:
  • Encontrar a solução geral y(t) da equação acima, aplicando a substituição apropriada para transformar a equação em uma linear.

Passo 2

Identificar a forma de Bernoulli e a substituição padrão.
Uma equação de Bernoulli tem a forma
\frac{dy}{dt}+P(t)\,y=Q(t)\,y^{n}.
Para esta equação, basta escrever a equação dada na forma de Bernoulli. Reescrevendo:
\frac{dy}{dt}-(\Gamma\cos t + T)\,y = -y^{3}.
Portanto é uma Bernoulli com P(t)=-(\Gamma\cos t + T), Q(t)=-1 e expoente n=3.
A substituição padrão para a equação de Bernoulli é
u = y^{1-n}.
Aqui n=3, então escolhemos
u = y^{1-3} = y^{-2}.
Agora vamos derivar u em termos de t para transformar a equação original em uma equação linear para u.

Passo 3

Calcular \dfrac{du}{dt} em função de y e \dfrac{dy}{dt}, e substituir a equação original.
Começamos por derivar u=y^{-2}:
\frac{du}{dt} = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dt}.
Substituímos \dfrac{dy}{dt}=(\Gamma\cos t + T)\,y - y^{3} dentro dessa expressão:
\frac{du}{dt} = -2\,y^{-3}\Big((\Gamma\cos t + T)\,y - y^{3}\Big).
Agora simplificamos termo a termo:
\frac{du}{dt} = -2\Big((\Gamma\cos t + T)\,y^{-2} - 1\Big).
Lembrando que y^{-2}=u, obtemos a equação linear para u:
\frac{du}{dt} = -2(\Gamma\cos t + T)\,u + 2.
Reescrevendo de forma padrão:
\frac{du}{dt} + 2(\Gamma\cos t + T)\,u = 2.

Passo 4

Resolver a equação linear de primeira ordem para u:
\frac{du}{dt} + 2(\Gamma\cos t + T)\,u = 2.
Para resolver usamos o fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int 2(\Gamma\cos t + T)\,dt\Big).
Calcule a integral no expoente:
\int 2(\Gamma\cos t + T)\,dt = 2\Gamma\sin t + 2T t + \text{constante}.
Tomando a constante como zero (padrão para o fator integrante), temos
\mu(t)=\exp\!\big(2\Gamma\sin t + 2T t\big).
Multiplicando a equação linear por \mu(t) transforma o lado esquerdo num total derivado:
\frac{d}{dt}\big(u\,\mu(t)\big) = 2\,\mu(t).
Integramos em t:
u(t)\,\mu(t) = 2\int \mu(t)\,dt + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u(t) = \mu(t)^{-1}\Big(2\int \mu(t)\,dt + C\Big).
Substituindo \mu(t):
u(t) = e^{-2\Gamma\sin t - 2T t}\Big(2\int e^{2\Gamma\sin s + 2T s}\,ds + C\Big),
onde, para deixar claro, a variável de integração foi renomeada para s dentro da integral.

Passo 5

Voltar à variável original y. Lembre que u=y^{-2}, logo
y(t) = \pm u(t)^{-1/2}.
Substituindo a expressão de u(t) e simplificando, observe que \mu(t)^{1/2}=e^{\Gamma\sin t + T t}. Assim uma forma mais elegante da solução é
y(t) = \pm \frac{\mu(t)^{1/2}}{\sqrt{\,2\displaystyle\int e^{2\Gamma\sin s + 2T s}\,ds + C\,}} = \pm \frac{e^{\Gamma\sin t + T t}}{\sqrt{\,2\displaystyle\int e^{2\Gamma\sin s + 2T s}\,ds + C\,}}.
Observações importantes:
  • A integral \displaystyle\int e^{2\Gamma\sin s + 2T s}\,ds em geral não tem primitiva elementar simples (exceto em casos especiais, por exemplo \Gamma=0 ou T=0 com manipulações apropriadas). Mantemos a integral indicada para dar a solução geral explícita.
  • O sinal \pm aparece porque a substituição u=y^{-2} perde a informação do sinal de y. A constante C deve ser tal que o argumento do radical seja positivo para que y seja real.
  • Se for dada uma condição inicial y(t_0)=y_0, ela determina a constante C e o sinal apropriado.

Resposta

y(t)=\pm\frac{e^{\Gamma\sin t + T t}}{\sqrt{\,2\displaystyle\int^{t} e^{2\Gamma\sin s + 2T s}\,ds + C\,}},
onde C é constante de integração.

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