(a) Verifique que ambas as funções
e
são soluções do problema de valor inicial
Onde essas soluções são válidas?
(b) Explique por que a existência de duas soluções para o problema dado não contradiz a unicidade no Teorema 2.4.2.
(c) Mostre que
, onde
é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencial no item (a) para
. Se
, a condição inicial também é satisfeita e obtemos a solução
. Mostre que não existe escolha de
que fornece a segunda solução
.
(b) Explique por que a existência de duas soluções para o problema dado não contradiz a unicidade no Teorema 2.4.2.
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Pede-se:
- (a) verificar que
e são soluções do PVI e dizer onde (em quais ) cada uma é válida; - (b) explicar por que a existência de duas soluções não contradiz o Teorema 2.4.2 (teorema de unicidade);
- (c) mostrar que
satisfaz a equação para , notar que produz , e mostrar que nenhum produz .
Dados relevantes que usaremos:
- A função do lado direito é
. Para que esteja definido é necessário . - A raiz quadrada retorna sempre o valor não negativo:
quando é quadrado perfeito, ou em geral .
Passo 2
Verificação para
.
- Calcular a derivada:
- Calcular o discriminante interno da raiz usando
:
Logo
- Substituir na expressão do lado direito:
- Agora igualar com
. Queremos que
Multiplicando por
:
A igualdade
é verdadeira exatamente quando
, isto é, quando
. Para
a expressão do lado direito vale
portanto coincide com
.
Conclusão parcial:
satisfaz a equação diferencial para todo
com
. Verificando a condição inicial:
, portanto a condição inicial é satisfeita. Assim
é uma solução do PVI válida em
(ou em qualquer intervalo contido em
).
Passo 3
Verificação para
.
- Calcular a derivada:
- Calcular o interno da raiz usando
:
Logo
- Substituir na expressão do lado direito:
que é exatamente
.
- A raiz quadrada está bem definida porque o argumento é
. Portanto a equação é satisfeita para todo . Verificando a condição inicial: , então também satisfaz .
Conclusão parcial:
é solução do PVI válida em todo
.
Passo 4
Resumo das respostas para (a) com explicação da validade:
- Para
a identidade só ocorre quando , isto é, para . Logo é solução no intervalo e atende a condição inicial em . - Para
a expressão interna da raiz é para todo , de modo que a equação é satisfeita para todo . Logo é solução global e também atende a condição inicial.
Passo 5
Por que isso não contradiz o Teorema de unicidade (Teorema 2.4.2)?
Primeiro, enunciado sucinto do teorema (versão padrão): se
e
são contínuas numa vizinhança retangular do ponto inicial
, então existe um único (local) solução do PVI passando por
.
Aqui
. Vamos investigar
.
Passo 6
Cálculo de
e verificação das hipóteses do teorema.
- Defina
. Então tem derivada em relação a igual a (quando ). Assim
sempre que
. (Para
a derivada parcial explode; para
nem está definido.)
- No ponto inicial
temos . Logo não é finita em ; de fato tende a quando nos aproximamos do ponto pela região onde . Portanto NÃO é contínua numa vizinhança do ponto inicial.
Conclusão: a hipótese de continuidade de
(uma hipótese chave do teorema de unicidade) falha no ponto inicial, por isso o teorema não garante unicidade aqui. Assim a existência de duas (ou mais) soluções não contradiz o teorema: o teorema simplesmente não se aplica porque as hipóteses não estão satisfeitas.
Passo 7
Parte (c): mostrar que
satisfaz a equação para
, verificar
e mostrar que não existe
que dê
.
- Considere a família
com
constante.
- Derivada:
- Calcular
:
Logo
- Substituir em
:
Queremos que isto seja igual a
, ou seja
A igualdade
é verdadeira exatamente quando
, isto é,
. Para
temos então
portanto a equação é satisfeita.
Conclusão: para cada constante
, a função
é solução da equação diferencial em qualquer intervalo onde
. (Naturalmente a raiz exige
, o que já está garantido.)
Passo 8
Especializar em
e mostrar que não há
que dê
.
- Se
, então
ou seja
. A condição
vira
, que coincide com a validade já encontrada para
. Assim
produz exatamente
.
- Mostrar que nenhum
produz .
Argumento polinomial simples: se para algum
tivéssemos
para todos os
num intervalo (mais do que um ponto), então as duas funções, uma linear em
e outra quadrática, seriam idênticas como polinômios. Isso implicaria que o coeficiente de
da combinação deveria ser zero, mas no lado direito o coeficiente de
é
. Portanto não existe constante
tal que a identidade seja válida em um intervalo com mais de um ponto. Assim nenhum
produz
.
Alternativa (mais direta): a segunda derivada de
é
identicamente, enquanto a segunda derivada de
é
. Duas funções que coincidem num intervalo teriam todas as derivadas iguais nesse intervalo; como
, não há coincidência em intervalo algum. Logo
não pertence à família
.
Resposta
(a)
é solução para
.
(a) é solução para todo
.
(b) Não contradiz o teorema de unicidade porque não é contínua (explode) no ponto inicial
; assim as hipóteses do teorema não se aplicam.
(c) satisfaz a equação para
; para
obtém-se
. Não existe
que gere
(linear versus quadrática; ou comparar segundas derivadas).
(a)
(b) Não contradiz o teorema de unicidade porque
(c)