Desenvolva a equação a seguir usando as propriedades de lógica booleana, até atingir uma forma canônica SOP. ( ’ = inversor ou BARRA)
\mathbf{F} \boldsymbol{=} \boldsymbol{[} \boldsymbol{(} \mathbf{A} xor \mathbf{B} \boldsymbol{)} \boldsymbol{.} \boldsymbol{(} \mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{+} \mathbf{B} \boldsymbol{+} \mathbf{C} \boldsymbol{)} \boldsymbol{]}^{\prime}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • A expressão dada é F = \bigl[(A\\ \text{xor}\\ B)\cdot (A' + B + C)\bigr]'.
  • O enunciado pede para desenvolver essa expressão usando propriedades de álgebra booleana até obter uma forma canônica SOP (Soma de Produtos canônica), ou seja, somar termos produto que contenham todas as variáveis A,B,C em cada termo (mintermos).
  • Notas sobre notação que vou usar:
    • A' é o inverso (NOT) de A.
    • \cdot é AND, + é OR.
    • A\oplus B é A XOR B.

Passo 2

Entender e escrever a definição útil: a operação XOR e algumas leis básicas.
  • Definição de XOR: A\oplus B = A B' + A' B.(Significa “A e não B” ou “não A e B”.)
  • Lei de De Morgan (duas formas que usarei): (X\cdot Y)' = X' + Y', \qquad (X + Y)' = X'\cdot Y'.
  • Complemento do XOR (XNOR): (A\oplus B)' = A B + A' B'.(Isto pode ser obtido aplicando De Morgan em A B' + A' B ou lembrando que XNOR é igualdade entre A e B.)

Passo 3

Aplicar De Morgan ao complemento externo da expressão original.
A expressão original é
F = \bigl[(A\oplus B)\cdot (A' + B + C)\bigr]'.
Usando (X\cdot Y)' = X' + Y', obtemos
F = (A\oplus B)' + (A' + B + C)'.

Passo 4

Calcular cada termo complementado separadamente.
  • Primeiro termo: (A\oplus B)'. Usando a forma XNOR: (A\oplus B)' = A B + A' B'.(Se quiser ver via De Morgan: (A B' + A' B)'=(A B')'\cdot (A' B)' e então aplicar (XY)'=X'+Y', levando ao mesmo resultado.)
  • Segundo termo: (A' + B + C)'. Aplicando De Morgan a uma soma de três: (A' + B + C)' = (A')' \cdot B' \cdot C' = A \cdot B' \cdot C'.
Portanto, juntando,
F = (A B + A' B') + (A \cdot B' \cdot C').

Passo 5

Organizar e simplificar (manter forma SOP mas ainda não canônica).
Escrevendo claramente:
F = A B + A' B' + A B' C'.
Posso reorganizar os termos para ficar mais claro:
F = A B + A' B' + A B' C'.

Passo 6

Transformar em forma canônica SOP: cada termo produto deve conter todas as variáveis A,B,C. Para isso, expandimos cada produto usando X = X(C + C') ou X = X(B + B') conforme necessário.
  • Expandir A B para incluir C: A B = A B (C + C') = A B C + A B C'.
  • Expandir A' B' para incluir C: A' B' = A' B' (C + C') = A' B' C + A' B' C'.
  • O termo A B' C' já contém todas as variáveis, então permanece como está.
Agora somando tudo:
F = A B C + A B C' + A' B' C + A' B' C' + A B' C'.

Passo 7

Verificar duplicatas e listar os mintermos únicos (cada produto com A,B,C).
Da expansão obtemos os mintermos (cada um inclui A,B,C ou seus complementos):
  • A B C
  • A B C'
  • A B' C'
  • A' B' C
  • A' B' C'
Não há outros mintermos repetidos — esses cinco termos são os mintermos que cobrem F.

Passo 8

(Comentário útil — simplificação rápida, opcional para prova)
Se for permitido simplificar para uma SOP não-canônica, podemos agrupar termos:
  • A B C' + A B' C' = A C'(B + B') = A C'.
  • A' B' C + A' B' C' = A' B'.
    Então uma forma simplificada é
F = A B C + A C' + A' B'.
Mas a forma canônica SOP (mintermos com todas as variáveis) é a que listamos no passo anterior.

Resposta

F = A B C + A B C' + A B' C' + A' B' C + A' B' C'

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