Minimize algebricamente usando as propriedades da álgebra booleana. ( ’ = inversor ou BARRA)
S=\left[\left(A^{\prime}+B^{\prime}+C\right) \cdot\left(A+D^{\prime}+B\right)\right]^{\prime} \cdot\left(A^{\prime} \cdot B \cdot D^{\prime}\right)

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana
S=\left[\left(A^{\prime}+B^{\prime}+C\right)\cdot\left(A+D^{\prime}+B\right)\right]^{\prime}\cdot\left(A^{\prime}\cdot B\cdot D^{\prime}\right).
Pede-se minimizar algebricamente usando propriedades da álgebra booleana. Aqui ' é complemento (negação), \cdot é AND e + é OR. Vou transformar passo a passo aplicando leis conhecidas (De Morgan, complemento, distributiva, anulamento, etc.) até obter a forma mínima.

Passo 2

Aplicar a lei de De Morgan à negação do produto. Para quaisquer P e Q vale (P\cdot Q)'=P'+Q'. Tomando
P = \left(A^{\prime}+B^{\prime}+C\right),\qquad Q=\left(A+D^{\prime}+B\right),
obtemos
\left(P\cdot Q\right)'=P'+Q'.
Portanto
\left[\left(A^{\prime}+B^{\prime}+C\right)\cdot\left(A+D^{\prime}+B\right)\right]' = \left(A^{\prime}+B^{\prime}+C\right)'+\left(A+D^{\prime}+B\right)'.

Passo 3

Agora aplicar De Morgan à negação de somas: para X+Y+Z tem-se (X+Y+Z)'=X'\cdot Y'\cdot Z'. Faço cada complemento separado.
Para \left(A^{\prime}+B^{\prime}+C\right)':
\left(A^{\prime}+B^{\prime}+C\right)' = (A')'\cdot(B')'\cdot C' = A\cdot B\cdot C'.
Para \left(A+D^{\prime}+B\right)':
\left(A+D^{\prime}+B\right)' = A'\cdot (D')'\cdot B' = A'\cdot D\cdot B'.
Então a soma fica
\left[\cdots\right]' = A\cdot B\cdot C' + A'\cdot D\cdot B'.

Passo 4

Substituir de volta em S e agrupar:
S = \bigl(A\cdot B\cdot C' + A'\cdot D\cdot B'\bigr)\cdot\bigl(A'\cdot B\cdot D'\bigr).
Usar a distributiva (X+Y)\cdot Z = X\cdot Z + Y\cdot Z para expandir:
S = (A\cdot B\cdot C')\cdot(A'\cdot B\cdot D') \;+\; (A'\cdot D\cdot B')\cdot(A'\cdot B\cdot D').

Passo 5

Simplificar cada termo usando propriedades básicas:
  • Complemento anulante: X\cdot X' = 0.
  • Idempotência: X\cdot X = X.
  • Comutatividade/associatividade para reordenar fatores.
Termo 1:
(A\cdot B\cdot C')\cdot(A'\cdot B\cdot D') = A\cdot A'\cdot B\cdot B\cdot C'\cdot D' = (A\cdot A')\cdot B\cdot C'\cdot D' = 0\cdot B\cdot C'\cdot D' = 0.
porque A\cdot A'=0.
Termo 2:
(A'\cdot D\cdot B')\cdot(A'\cdot B\cdot D') = A'\cdot A'\cdot D\cdot D'\cdot B'\cdot B = A'\cdot (D\cdot D')\cdot (B'\cdot B) = A'\cdot 0\cdot 0 = 0.
porque D\cdot D'=0 e B\cdot B'=0.

Passo 6

Somando os dois termos simplificados:
S = 0 + 0 = 0.
Logo a expressão é sempre zero (a forma mínima é a função nula).

Resposta

0

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