Dada a equação diferencial:
. Dentre as alternativas abaixo, qual representa todos os valores de
para os quais a solução da equação possui um decaimento oscilatório?
a
d]
b)
e)
$ nenhuma das demais alternativas
a
d]
b)
e)
$ nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial do tipo $ y’’ + a y’ + (a+5) y = 0 $ e pede para descobrir para quais valores de $ a $ a solução dessa equação apresenta um decaimento oscilatório. Ou seja, queremos saber quando a solução diminui com oscilações ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e suas soluções, especialmente quando elas têm raízes complexas com partes reais negativas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como resolvemos equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é $ y’’ + b y’ + c y = 0 $. Para resolver, assumimos uma solução do tipo $ y = e^{r t} $, substituindo na equação para obter a equação característica:
As raízes dessa equação ($ r $) determinam o comportamento da solução.
Passo 3
No nosso caso, a equação é $ y’’ + a y’ + (a+5) y = 0 $. Comparando com a forma geral, temos $ b = a $ e $ c = a + 5 $. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Para encontrar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
O que determina se as raízes são reais ou complexas é o discriminante $ \Delta = a^2 - 4(a + 5) $.
Passo 5
Queremos que a solução tenha decaimento oscilatório, o que acontece quando as raízes são complexas e a parte real é negativa. Para isso:
- Raízes Complexas: O discriminante deve ser negativo, ou seja, $ \Delta < 0 $.
- Decaimento: A parte real das raízes deve ser negativa, o que acontece se $ a > 0 $ (porque a parte real é $ -\frac{a}{2} $).
Passo 6
Vamos primeiro resolver a condição $ \Delta < 0 $:
Resolvendo essa inequação quadrática:
Aproximadamente, $ 2 - 2\sqrt{6} \approx -2.9 $ e $ 2 + 2\sqrt{6} \approx 6.9 $.
Então, a inequação $ a^2 - 4a - 20 < 0 $ é verdadeira para $ -2.9 < a < 6.9 $.
Passo 7
Agora, combinamos isso com a condição $ a > 0 $ para garantir o decaimento:
Exatamente, $ a $ deve estar entre 0 e aproximadamente 6.9 para que a solução seja um decaimento oscilatório.
Passo 8
Analisando as opções fornecidas:
a) $ a \in \mathbb{R} $ – Errado, porque não inclui apenas $ a > 0 $.
b) $ a \in [-1,5] $ – Errado, pois inclui valores negativos.
d) $ a > 0 $ – Parcialmente correto, mas não limita até 6.9.
e) $ a \in (0,5] $ – Parcialmente correto, mas também não cobre todo o intervalo até 6.9.
f) $ a \in (-1,5) $ – Errado, inclui valores negativos.
c) Nenhuma das demais alternativas – Correto, pois nenhuma das opções anteriores cobre exatamente o intervalo $ 0 < a < 6.9 $.
Resposta
Nenhuma das demais alternativas.