Dada a equação x^{2} y+y^{2} x=6, encontre \frac{d y}{d x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita x^{2}y + y^{2}x = 6 e pede \frac{dy}{dx}. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra do produto em cada termo e depois coletar os termos que envolvem \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos:
Diferenciando x^{2}y:
\frac{d}{dx}(x^{2}y) = 2x\,y + x^{2}\frac{dy}{dx}.
Diferenciando y^{2}x:
\frac{d}{dx}(y^{2}x) = 2y\frac{dy}{dx}\,x + y^{2}.
E o termo constante 6
\frac{d}{dx}(6) = 0.
Somando tudo:
2x\,y + x^{2}\frac{dy}{dx} + 2x\,y\frac{dy}{dx} + y^{2} = 0.

Passo 3

Agora, agrupamos os termos que contêm \frac{dy}{dx} de um lado e os demais do outro:
x^{2}\frac{dy}{dx} + 2x\,y\frac{dy}{dx} = -(2x\,y + y^{2}).
Fatorando \frac{dy}{dx}:
(x^{2} + 2x\,y)\frac{dy}{dx} = -(2x\,y + y^{2}).
Dividindo pelo coeficiente de \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x\,y + y^{2}}{x^{2} + 2x\,y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x\,y + y^{2}}{x^{2} + 2x\,y}.

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