Aproxime a área sob a curva f(x)=x^{2} no intervalo [0,2] usando uma Soma de Riemann com 4 retângulos e usando o ponto final direito de cada subintervalo.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a área sob a curva f(x)=x^2 no intervalo [0,2] usando uma soma de Riemann com 4 retângulos e escolhendo, em cada subintervalo, o ponto final direito como amostra. Vamos aplicar o conceito de soma de Riemann, que se baseia em particionar o intervalo, calcular a largura de cada retângulo e avaliar f nos pontos escolhidos para depois somar as áreas.

Passo 2

Calcular a largura de cada subintervalo, \Delta x, dividindo o comprimento total pelo número de retângulos:
\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5.

Passo 3

Determinar os pontos finais direitos de cada subintervalo. Se \Delta x=0{,}5, os pontos são
x_1 = 0 + 1\cdot0{,}5 = 0{,}5,\quad x_2 = 1{,}0,\quad x_3 = 1{,}5,\quad x_4 = 2{,}0.

Passo 4

Avaliar a função nesses pontos e somar os resultados:
f(0{,}5) = (0{,}5)^2 = 0{,}25,\quad f(1{,}0) = 1{,}
f(1{,}5) = (1{,}5)^2 = 2{,}25,\quad f(2{,}0) = 4.
Logo,
\sum_{i=1}^{4} f(x_i) = 0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4 = 7{,}5.

Passo 5

Multiplicar a soma pelo tamanho de cada retângulo para obter a aproximação da área:
\text{Área aproximada} = \Delta x \sum_{i=1}^{4} f(x_i) = 0{,}5 \times 7{,}5 = 3{,}75.Á

Resposta

A aproximação da área sob f(x)=x^2 em [0,2] pela soma de Riemann com 4 retângulos usando pontos finais direitos é \displaystyle 3{,}75.

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