dada F(s)=\mathcal{L}(f(t)), obtenha f(t).
F(s)=\frac{1}{4 s+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Foi dado que F(s)=\mathcal{L}(f(t)).
  • A função transformada é \displaystyle F(s)=\frac{1}{4s+1}.
  • O pedido é: obter f(t), ou seja, calcular a transformada inversa de Laplace de F(s).

Passo 2

Recordando a definição da transformada de Laplace (para alinhar o raciocínio):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
A transformada inversa busca a função f(t) que satisfaz essa igualdade. Uma técnica prática é reconhecer F(s) como uma combinação de transformadas conhecidas e usar propriedades lineares.

Passo 3

Transformada básica que vamos usar (e sua demonstração rápida):
  • Para a constante, vale
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{-a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{s+a},
desde que \operatorname{Re}(s+a)>0 (condição de convergência).
Isto nos diz que a transformada de e^{-a t} é 1/(s+a).

Passo 4

Reescrever F(s) para ficar no formato \text{constante}\times\frac{1}{s+a}.
Começamos fatorando 4 do denominador:
\frac{1}{4s+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}.
Assim, F(s)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{s+\tfrac{1}{4}}.

Passo 5

Usando a transformada conhecida e a linearidade:
  • Sabemos que \mathcal{L}\{e^{-(1/4)t}\}(s)=\dfrac{1}{s+1/4}.
  • Pela linearidade, multiplicar por \dfrac{1}{4} no domínio s corresponde a multiplicar por \dfrac{1}{4} no domínio do tempo.
    Portanto a inversa de Laplace é
f(t)=\frac{1}{4}\,e^{-t/4},\qquad t\ge 0.
Pode-se também escrever incluindo o degrau de Heaviside u(t) para explicitar causalidade: f(t)=\dfrac{1}{4}e^{-t/4}u(t).

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança):
Calcular \mathcal{L}\{f\}(s) para f(t)=\dfrac{1}{4}e^{-t/4}u(t):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1/4)t}\,dt=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+1/4}=\frac{1}{4s+1},
que coincide com F(s). A condição de convergência é \operatorname{Re}(s)>-\tfrac{1}{4}, normalmente satisfeita para s real positivo.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{4}e^{-t/4}u(t)

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