dada
, obtenha
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Foi dado que
. - A função transformada é
- O pedido é: obter
, ou seja, calcular a transformada inversa de Laplace de .
Passo 2
Recordando a definição da transformada de Laplace (para alinhar o raciocínio):
A transformada inversa busca a função
que satisfaz essa igualdade. Uma técnica prática é reconhecer
como uma combinação de transformadas conhecidas e usar propriedades lineares.
Passo 3
Transformada básica que vamos usar (e sua demonstração rápida):
- Para
constante, vale
desde que
(condição de convergência).
Isto nos diz que a transformada de é
.
Isto nos diz que a transformada de
Passo 4
Reescrever
para ficar no formato
.
Começamos fatorando do denominador:
Começamos fatorando
Assim,
.
Passo 5
Usando a transformada conhecida e a linearidade:
- Sabemos que
- Pela linearidade, multiplicar por
no domínio corresponde a multiplicar por no domínio do tempo.
Portanto a inversa de Laplace é
Pode-se também escrever incluindo o degrau de Heaviside
para explicitar causalidade:
.
Passo 6
Checagem rápida (para ganhar confiança):
Calcular para
:
Calcular
que coincide com
. A condição de convergência é
, normalmente satisfeita para
real positivo.