Exercício 3. Use a rotação e/ou translação de eixos para esboçar os cônicas abaixo:
x^{2}+y^{2}-16 x=0;

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a cônica dada por x^{2}+y^{2}-16 x=0.
Informações fornecidas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A equação é \,x^{2}+y^{2}-16 x=0.
  • Coeficientes relevantes (escrevendo a forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0): A=1, B=0, C=1, D=-16, E=0, F=0.
    O que se pede explicitamente: obter uma forma mais simples que permita identificar e desenhar a cônica (usar rotação e/ou translação de eixos se necessário) e então esboçá-la.

Passo 2

Decidir se é necessária rotação ou apenas translação. Regra prática (explicando):
  • Para a forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0, a presença do termo misto Bxy indica que pode ser preciso ROTACIONAR os eixos para eliminar inclinação da cônica.
  • Se B=0, não há termo misto e normalmente NÃO é necessária rotação; bastam translações (se houver termos lineares) para obter a forma canônica.
    Aqui temos B=0 (peguei esse valor da lista de coeficientes acima), então não precisamos rotacionar: vamos usar translação de eixos (completar o quadrado) para colocar a equação em forma canônica.

Passo 3

Completar o quadrado no x (a técnica e o porquê):
  • Regra de completar o quadrado: para um polinômio quadrático x^{2}+bx, adicionar e subtrair \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} transforma em \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}.
    Aplicando à equação \,x^{2}+y^{2}-16x=0:
x^{2}-16x+y^{2}=0.
Aqui b=-16 para os termos em x, então \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{-16}{2}\right)^{2}=(-8)^{2}=64. Adicionando e subtraindo 64:
(x^{2}-16x+64)-64+y^{2}=0.
Reescrevendo o quadrado:
(x-8)^{2}-64+y^{2}=0.
Isolando os termos quadráticos:
(x-8)^{2}+y^{2}=64.

Passo 4

Interpretar a forma obtida e fazer a translação de eixos (explicando o processo passo a passo):
  • Defina novas coordenadas centradas no deslocamento: \,X = x-8 e \,Y = y. (Isto é uma translação do eixo x de 8 unidades para a direita.)
  • Em (X,Y) a equação fica
X^{2}+Y^{2}=64.
  • Essa é a equação de um círculo de raio \sqrt{64}=8 centrado na origem do sistema (X,Y).
  • Voltando às coordenadas originais (x,y), o centro do círculo é \,(8,0) e o raio é \,8.

Passo 5

Verificações e pontos úteis para o esboço (mostrar como posicionar no papel sem calculadora):
  • Interseção com o eixo x: colocar y=0 em x^{2}+0-16x=0 x(x-16)=0, então x=0 e x=16. Logo o círculo passa por (0,0) e por (16,0). (Peguei esses pontos resolvendo a equação para y=0.)
  • Interseção com o eixo vertical através do centro: colocar x=8 em (x-8)^{2}+y^{2}=64 y^{2}=64, logo y=8 e y=-8. Pontos (8,8) e (8,-8).
  • Para esboçar: desenhe um sistema de eixos; marque o ponto (8,0) como centro; com compasso de raio 8 (ou medindo 8 unidades no papel) trace o círculo que passa por (0,0), (16,0), (8,8) e (8,-8).

Passo 6

Resumo didático curto (como você pode usar isso numa prova):
  • Sempre busque primeiro o termo misto Bxy; se B\neq0 considere rotação. Se B=0, tente completar quadrado para eliminar termos lineares por translação.
  • Completar o quadrado é uma técnica mecânica: pegue o coeficiente linear, divida por 2, eleve ao quadrado e adicione/subtraia para formar um quadrado perfeito.
  • Após a translação, identifique centro e raio (no caso de círculo) ou os parâmetros canônicos da cônica obtida e desenhe usando esses pontos chave.

Resposta

(x-8)^{2}+y^{2}=64
Centro: (8,0). Raio: 8.

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