Exercício 3. Use a rotação e/ou translação de eixos para esboçar os cônicas abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a cônica dada por
.
Informações fornecidas (extraídas diretamente do enunciado):
Informações fornecidas (extraídas diretamente do enunciado):
- A equação é
. - Coeficientes relevantes (escrevendo a forma geral
): , , , , , .
O que se pede explicitamente: obter uma forma mais simples que permita identificar e desenhar a cônica (usar rotação e/ou translação de eixos se necessário) e então esboçá-la.
Passo 2
Decidir se é necessária rotação ou apenas translação. Regra prática (explicando):
- Para a forma geral
, a presença do termo misto indica que pode ser preciso ROTACIONAR os eixos para eliminar inclinação da cônica. - Se
, não há termo misto e normalmente NÃO é necessária rotação; bastam translações (se houver termos lineares) para obter a forma canônica.
Aqui temos(peguei esse valor da lista de coeficientes acima), então não precisamos rotacionar: vamos usar translação de eixos (completar o quadrado) para colocar a equação em forma canônica.
Passo 3
Completar o quadrado no
(a técnica e o porquê):
- Regra de completar o quadrado: para um polinômio quadrático
, adicionar e subtrair transforma em .
Aplicando à equação:
Aqui
para os termos em
, então
. Adicionando e subtraindo
:
Reescrevendo o quadrado:
Isolando os termos quadráticos:
Passo 4
Interpretar a forma obtida e fazer a translação de eixos (explicando o processo passo a passo):
- Defina novas coordenadas centradas no deslocamento:
e . (Isto é uma translação do eixo de 8 unidades para a direita.) - Em
a equação fica
- Essa é a equação de um círculo de raio
centrado na origem do sistema . - Voltando às coordenadas originais
, o centro do círculo é e o raio é .
Passo 5
Verificações e pontos úteis para o esboço (mostrar como posicionar no papel sem calculadora):
- Interseção com o eixo
: colocar em dá , então e . Logo o círculo passa por e por . (Peguei esses pontos resolvendo a equação para .) - Interseção com o eixo vertical através do centro: colocar
em dá , logo e . Pontos e . - Para esboçar: desenhe um sistema de eixos; marque o ponto
como centro; com compasso de raio 8 (ou medindo 8 unidades no papel) trace o círculo que passa por , , e .
Passo 6
Resumo didático curto (como você pode usar isso numa prova):
- Sempre busque primeiro o termo misto
; se considere rotação. Se , tente completar quadrado para eliminar termos lineares por translação. - Completar o quadrado é uma técnica mecânica: pegue o coeficiente linear, divida por
, eleve ao quadrado e adicione/subtraia para formar um quadrado perfeito. - Após a translação, identifique centro e raio (no caso de círculo) ou os parâmetros canônicos da cônica obtida e desenhe usando esses pontos chave.
Resposta
Centro: