Dada
, encontre a função inversa
e faça numa mesma figura os gráficos de
, e da reta bissetriz
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que ele pede:
- Encontrar a função inversa
. - Fazer, numa mesma figura, os gráficos de
, de e da reta bissetriz .
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma reta afim com coeficiente angular
e ordenada na origem . - Precisa-se tanto da expressão analítica de
quanto de desenhar as três curvas juntas.
Passo 2
O que é uma função inversa e como achá-la (explicação didática):
- Uma função
é inversa de se, para todo no domínio apropriado, vale e . Em notação, . - Método prático para achar
(muito usado em provas): escrever , trocar por e por (isso corresponde a refletir o gráfico na reta ), e resolver a nova equação para . O resultado é . - Observação sobre invertibilidade: uma função linear
é invertível se (porque então é estritamente monotônica). Aqui , logo é invertível e o procedimento acima é válido.
Passo 3
Aplicando o método para achar
passo a passo (sem pular etapas):
- Começo escrevendo
:
- Troco
e :
- Agora resolvo essa equação para
. Primeiro isolo o termo com :
- Multiplico ambos os lados por
para eliminar a divisão:
- Simplificando o parêntese:
- Portanto a inversa é
Passo 4
Domínio e imagem (faça na prova, costuma cair):
- Para
sendo uma reta com coeficiente não nulo, o domínio é e a imagem também é . - A inversa troca domínio e imagem, logo
também tem domínio e imagem . - Verificação rápida da monotonicidade: como o coeficiente angular de
é , é estritamente crescente — outro motivo que garante existência de inversa.
Passo 5
Verificação por composição (confirma que calculou certo):
- Calculo
. Primeiro escrevo . Então
- Simplifico o numerador dividido por
:
logo
- Agora
. Como ,
- Distribuo o
:
- As duas composições dão
, então a função inversa encontrada está correta.
Passo 6
Como desenhar numa mesma figura
e
— instruções práticas e pontos para você plotar à mão ou com calculadora:
- Identifique as retas:
-
: coeficiente angular , ordenada na origem . -
: coeficiente angular , ordenada na origem . -
: coeficiente angular , ordenada .
-
- Ponto fixo (interseção com
): resolver :
Portanto as três curvas se cruzam em
(ponto fixo de
).
3. Tabelas de pontos para esboçar (escolha alguns fáceis):
3. Tabelas de pontos para esboçar (escolha alguns
- Para
: -
- Para
: -
- Como desenhar passo a passo (manual):
- Desenhe eixos
e com escala adequada (por exemplo, marcar de a em ambos). - Trace a bissetriz
: é a reta que passa pela origem em . - Marque e desenhe a reta
usando sua ordenada em e a inclinação (subir 1 quando andar 2 unidades à direita). Plote os pontos da tabela e ligue-os por uma linha reta. - Marque e desenhe a reta
usando ordenada em e inclinação (subir 2 quando andar 1 unidade à direita). Plote os pontos da tabela e ligue-os. - Observe que qualquer ponto
na reta corresponde ao ponto na reta : isso mostra a reflexão em torno de .
- Desenhe eixos
- Observações úteis para o desenho:
- As retas
e são simétricas por reflexão em . - Como
e , a inversa é mais “íngreme” que . - Ambas as retas são ilimitadas (seguem para
), por isso trace linhas longas no gráfico.
- As retas
Passo 7
Exemplo rápido de verificação gráfica com poucos pontos (prático na prova):
- Pegue três pontos da tabela para
: . Marque-os. - Marque os pontos correspondentes invertidos para
: . - Trace
. Verifique que cada ponto da reta tem o ponto correspondente espelhado na reta . - Isso basta para mostrar, num rascunho de prova, que os três gráficos foram feitos e que as relações esperadas (simetria e interseção) estão corretas.
Resposta
Os gráficos são as retas