Dada f(x)=x / 2+1, encontre a função inversa f^{-1}(x) e faça numa mesma figura os gráficos de f(x), f^{-1}(x), e da reta bissetriz y=x.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{x}{2}+1.
O que ele pede:
  • Encontrar a função inversa f^{-1}.
  • Fazer, numa mesma figura, os gráficos de f(x), de f^{-1}(x) e da reta bissetriz y=x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma reta afim com coeficiente angular 1/2 e ordenada na origem 1.
  • Precisa-se tanto da expressão analítica de f^{-1} quanto de desenhar as três curvas juntas.

Passo 2

O que é uma função inversa e como achá-la (explicação didática):
  • Uma função g é inversa de f se, para todo x no domínio apropriado, vale f(g(x))=x e g(f(x))=x. Em notação, g=f^{-1}.
  • Método prático para achar f^{-1} (muito usado em provas): escrever y=f(x), trocar x por y e y por x (isso corresponde a refletir o gráfico na reta y=x), e resolver a nova equação para y. O resultado é f^{-1}(x).
  • Observação sobre invertibilidade: uma função linear f(x)=ax+b é invertível se a\neq0 (porque então é estritamente monotônica). Aqui a=\tfrac{1}{2}\neq0, logo f é invertível e o procedimento acima é válido.

Passo 3

Aplicando o método para achar f^{-1} passo a passo (sem pular etapas):
  • Começo escrevendo y=f(x):
y=\frac{x}{2}+1.
  • Troco x e y:
x=\frac{y}{2}+1.
  • Agora resolvo essa equação para y. Primeiro isolo o termo com y:
x-1=\frac{y}{2}.
  • Multiplico ambos os lados por 2 para eliminar a divisão:
2(x-1)=y.
  • Simplificando o parêntese:
y=2x-2.
  • Portanto a inversa é
f^{-1}(x)=2x-2.

Passo 4

Domínio e imagem (faça na prova, costuma cair):
  • Para f(x)=\tfrac{x}{2}+1 sendo uma reta com coeficiente não nulo, o domínio é \mathbb{R} e a imagem também é \mathbb{R}.
  • A inversa troca domínio e imagem, logo f^{-1} também tem domínio \mathbb{R} e imagem \mathbb{R}.
  • Verificação rápida da monotonicidade: como o coeficiente angular de f é \tfrac{1}{2}>0, f é estritamente crescente — outro motivo que garante existência de inversa.

Passo 5

Verificação por composição (confirma que calculou certo):
  • Calculo f(f^{-1}(x)). Primeiro escrevo f^{-1}(x)=2x-2. Então
f(f^{-1}(x))=f(2x-2)=\frac{2x-2}{2}+1.
  • Simplifico o numerador dividido por 2:
\frac{2x-2}{2}=x-1,
logo
f(f^{-1}(x))=(x-1)+1=x.
  • Agora f^{-1}(f(x)). Como f(x)=\tfrac{x}{2}+1,
f^{-1}(f(x))=2\left(\frac{x}{2}+1\right)-2.
  • Distribuo o 2:
2\cdot\frac{x}{2}+2\cdot1-2 = x +2 -2 = x.
  • As duas composições dão x, então a função inversa encontrada está correta.

Passo 6

Como desenhar numa mesma figura f(x), f^{-1}(x) e y=x — instruções práticas e pontos para você plotar à mão ou com calculadora:
  1. Identifique as retas:
    • f(x)=\dfrac{x}{2}+1: coeficiente angular m_f=\dfrac{1}{2}, ordenada na origem b_f=1.
    • f^{-1}(x)=2x-2: coeficiente angular m_{f^{-1}}=2, ordenada na origem b_{f^{-1}}=-2.
    • y=x: coeficiente angular 1, ordenada 0.
  2. Ponto fixo (interseção com y=x): resolver f(x)=x:
\frac{x}{2}+1=x \quad\Rightarrow\quad x+2=2x \quad\Rightarrow\quad x=2.
Portanto as três curvas se cruzam em (2,2) (ponto fixo de f).
3. Tabelas de pontos para esboçar (escolha alguns x fáceis):
  • Para f(x)=\tfrac{x}{2}+1:
    • x=-4 \Rightarrow f(-4)=-1
    • x=-2 \Rightarrow f(-2)=0
    • x=0 \Rightarrow f(0)=1
    • x=2 \Rightarrow f(2)=2
    • x=4 \Rightarrow f(4)=3
  • Para f^{-1}(x)=2x-2:
    • x=-4 \Rightarrow f^{-1}(-4)=-10
    • x=-2 \Rightarrow f^{-1}(-2)=-6
    • x=0 \Rightarrow f^{-1}(0)=-2
    • x=1 \Rightarrow f^{-1}(1)=0
    • x=2 \Rightarrow f^{-1}(2)=2
    • x=3 \Rightarrow f^{-1}(3)=4
  1. Como desenhar passo a passo (manual):
    • Desenhe eixos x e y com escala adequada (por exemplo, marcar de -5 a 5 em ambos).
    • Trace a bissetriz y=x: é a reta que passa pela origem em 45^\circ.
    • Marque e desenhe a reta f usando sua ordenada em y=1 e a inclinação 1/2 (subir 1 quando andar 2 unidades à direita). Plote os pontos da tabela e ligue-os por uma linha reta.
    • Marque e desenhe a reta f^{-1} usando ordenada em -2 e inclinação 2 (subir 2 quando andar 1 unidade à direita). Plote os pontos da tabela e ligue-os.
    • Observe que qualquer ponto (a,b) na reta f corresponde ao ponto (b,a) na reta f^{-1}: isso mostra a reflexão em torno de y=x.
  2. Observações úteis para o desenho:
    • As retas f e f^{-1} são simétricas por reflexão em y=x.
    • Como m_f=\tfrac{1}{2}<1 e m_{f^{-1}}=2>1, a inversa é mais “íngreme” que f.
    • Ambas as retas são ilimitadas (seguem para \pm\infty), por isso trace linhas longas no gráfico.

Passo 7

Exemplo rápido de verificação gráfica com poucos pontos (prático na prova):
  • Pegue três pontos da tabela para f: (-2,0),(0,1),(2,2). Marque-os.
  • Marque os pontos correspondentes invertidos para f^{-1}: (0,-2),(1,0),(2,2).
  • Trace y=x. Verifique que cada ponto da reta f tem o ponto correspondente espelhado na reta f^{-1}.
  • Isso basta para mostrar, num rascunho de prova, que os três gráficos foram feitos e que as relações esperadas (simetria e interseção) estão corretas.

Resposta

f^{-1}(x)=2x-2
Os gráficos são as retas y=\dfrac{x}{2}+1, y=2x-2 e y=x; elas se cruzam em (2,2) e y=2x-2 é a reflexão de y=\dfrac{x}{2}+1 em relação a y=x.

Exercícios relacionados