Determine uma fórmula para f^{-1}(x) e verifique, em cada caso, se f\left(f^{-1}(x)\right)=x :
(a) f(x)=x+5

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x+5.
Pede-se duas coisas:
  • determinar uma fórmula para f^{-1}(x) (a função inversa);
  • verificar se \,f\big(f^{-1}(x)\big)=x (ou seja, compor f com a sua inversa e ver se volta em x).
Observação importante: vou assumir que o domínio e o contradomínio de f são os números reais \mathbb{R}, o que é natural para uma função do tipo x\mapsto x+5.

Passo 2

O que significa “função inversa” de f? Vou explicar devagar e na boa: se f leva um número a em b, isto é, se f(a)=b, então a inversa f^{-1} deve levar b de volta para a, isto é, f^{-1}(b)=a. Em símbolos: f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a. Por isso, para achar f^{-1} a técnica padrão é:
  • escrever y=f(x);
  • trocar x por y e y por x (isso representa “inverter” a relação);
  • resolver a equação para y em função de x; esse y obtido é f^{-1}(x).
Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Começo escrevendo a definição com uma variável y:
y = x + 5.
Agora troco os papéis de x e y (isso corresponde a refletir a função na reta y=x):
x = y + 5.

Passo 4

Agora resolvo a equação x = y + 5 para y:
x = y + 5 \quad\Rightarrow\quad y = x - 5.
Esse y que encontramos é exatamente a função inversa expressa em termos da variável x. Logo:
f^{-1}(x)=x-5.

Passo 5

Pequena verificação de sentido: se f(x)=x+5 acrescenta 5, então a inversa deve subtrair 5. O resultado f^{-1}(x)=x-5 bate com esse raciocínio intuitivo — bom sinal.

Passo 6

Agora faço a verificação pedida: compor f com f^{-1} e ver se dá x. Ou seja, calcular f\big(f^{-1}(x)\big). Substituo f^{-1}(x) na expressão de f:
f\big(f^{-1}(x)\big)=f(x-5).
Como f(t)=t+5 para qualquer argumento t, aplico isto com t=x-5:
f(x-5)=(x-5)+5.

Passo 7

Faço a soma simples e simplifico:
(x-5)+5 = x + (-5+5) = x + 0 = x.
Portanto, a composição dá exatamente x para todo x\in\mathbb{R}. Isso mostra que a verificação pedida é verdadeira.

Resposta

f^{-1}(x)=x-5
f\big(f^{-1}(x)\big)=x para todo x\in\mathbb{R}.

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