Determine uma fórmula para
e verifique, em cada caso, se
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se duas coisas:
- determinar uma fórmula para
(a função inversa); - verificar se
(ou seja, compor com a sua inversa e ver se volta em ).
Observação importante: vou assumir que o domínio e o contradomínio de
são os números reais
, o que é natural para uma função do tipo
.
Passo 2
O que significa “função inversa” de
? Vou explicar devagar e na boa: se
leva um número
em
, isto é, se
, então a inversa
deve levar
de volta para
, isto é,
. Em símbolos:
. Por isso, para achar
a técnica padrão é:
- escrever
; - trocar
por e por (isso representa “inverter” a relação); - resolver a equação para
em função de ; esse obtido é .
Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Começo escrevendo a definição com uma variável
:
Agora troco os papéis de
e
(isso corresponde a refletir a função na reta
):
Passo 4
Agora resolvo a equação
para
:
Esse
que encontramos é exatamente a função inversa expressa em termos da variável
. Logo:
Passo 5
Pequena verificação de sentido: se
acrescenta
, então a inversa deve subtrair
. O resultado
bate com esse raciocínio intuitivo — bom sinal.
Passo 6
Agora faço a verificação pedida: compor
com
e ver se dá
. Ou seja, calcular
. Substituo
na expressão de
:
Como
para qualquer argumento
, aplico isto com
:
Passo 7
Faço a soma simples e simplifico:
Portanto, a composição dá exatamente
para todo
. Isso mostra que a verificação pedida é verdadeira.