Dada
,
, encontrar a derivada
com
.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e as parametrizações
e
. Define-se
e pede-se a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. -
. - A derivada pedida é
com .
Observação sobre domínio:
exige
. Como
, tem-se
quando
. Logo a expressão está bem definida apenas para
.
Passo 2
Vou usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
, então a derivada
é dada por
Explicando a fórmula:
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante). Depois multiplicam-se essas parciais pelas derivadas das trajetórias
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Começando por
. Trate
como constante:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: a derivada de é vezes . Aqui , então . Portanto a contribuição é .
Somando,
Agora
. Trate
como constante:
- A derivada de
em relação a é . - Para
: novamente , e multiplicando por dá .
Somando,
Passo 4
Calcular
e
a partir das parametrizações:
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais em
, isto é substituir
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Aplicar a fórmula da cadeia e simplificar: usar
Substituindo os resultados encontrados:
Agora multiplicar e somar termos iguais:
- Primeiro produto:
e . - Somando com o segundo termo
obtemos
Lembrete: esta expressão vale para
, que é o domínio onde
está definida.