Dada f(x, y)=x^{2} y+\ln \left(x y^{2}\right), x(t)=t^{2}, y(t)=t, encontrar a derivada \frac{d w}{d t}(t) com w(t)=f(x(t), y(t)).

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis f(x,y)=x^{2}y+\ln\!\left(xy^{2}\right) e as parametrizações \,x(t)=t^{2}\, e \,y(t)=t. Define-se w(t)=f(x(t),y(t)) e pede-se a derivada \dfrac{d w}{d t}(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x,y)=x^{2}y+\ln\!\left(xy^{2}\right).
  • x(t)=t^{2}.
  • y(t)=t.
  • A derivada pedida é \dfrac{d w}{d t}(t) com w(t)=f(x(t),y(t)).
Observação sobre domínio: \ln\!\left(xy^{2}\right) exige xy^{2}>0. Como x(t)y(t)^{2}=t^{2}\cdot t^{2}=t^{4}, tem-se t^{4}>0 quando t\neq 0. Logo a expressão está bem definida apenas para t\neq 0.

Passo 2

Vou usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se w(t)=f(x(t),y(t)), então a derivada dw/dt é dada por
\frac{d w}{d t}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)\cdot\frac{d x}{d t}(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)\cdot\frac{d y}{d t}(t).
Explicando a fórmula: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Depois multiplicam-se essas parciais pelas derivadas das trajetórias \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
Começando por \dfrac{\partial f}{\partial x}. Trate y como constante:
  • A derivada de x^{2}y em relação a x é 2x y.
  • A derivada de \ln\!\left(xy^{2}\right) em relação a x usa a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é 1/u vezes u'. Aqui u(x,y)=xy^{2}, então \dfrac{\partial}{\partial x}\big(xy^{2}\big)=y^{2}. Portanto a contribuição é \dfrac{y^{2}}{xy^{2}}=\dfrac{1}{x}.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+\frac{1}{x}.
Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Trate x como constante:
  • A derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}.
  • Para \ln\!\left(xy^{2}\right): novamente \dfrac{\partial}{\partial y}\big(xy^{2}\big)=2xy, e multiplicando por 1/(xy^{2}) \dfrac{2xy}{xy^{2}}=\dfrac{2}{y}.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+\frac{2}{y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das parametrizações:
\frac{dx}{dt}(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t, \qquad \frac{dy}{dt}(t)=\frac{d}{dt}\big(t\big)=1.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais em (x(t),y(t)), isto é substituir x=t^{2} e y=t.
Para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)=2\big(t^{2}\big)\big(t\big)+\frac{1}{t^{2}}=2t^{3}+\frac{1}{t^{2}}.
Para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)=\big(t^{2}\big)^{2}+\frac{2}{t}=t^{4}+\frac{2}{t}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da cadeia e simplificar: usar
\frac{d w}{d t}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)\cdot\frac{d x}{d t}(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)\cdot\frac{d y}{d t}(t).
Substituindo os resultados encontrados:
\frac{d w}{d t}(t)=\left(2t^{3}+\frac{1}{t^{2}}\right)\cdot(2t)+\left(t^{4}+\frac{2}{t}\right)\cdot 1.
Agora multiplicar e somar termos iguais:
  • Primeiro produto: \left(2t^{3}\right)(2t)=4t^{4} e \left(\dfrac{1}{t^{2}}\right)(2t)=\dfrac{2}{t}.
  • Somando com o segundo termo t^{4}+\dfrac{2}{t} obtemos
\frac{d w}{d t}(t)=4t^{4}+\frac{2}{t}+t^{4}+\frac{2}{t}=5t^{4}+\frac{4}{t}.
Lembrete: esta expressão vale para t\neq 0, que é o domínio onde w(t) está definida.

Resposta

\dfrac{d w}{d t}(t)=5t^{4}+\dfrac{4}{t}

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