Dada a função
, determine as derivadas parciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função .
Conteúdo da matéria: Derivadas parciais em funções de várias variáveis.
O que vamos precisar:
- Conhecer as regras de derivação, como a regra do quociente.
- Saber como aplicar as derivadas parciais nas funções dadas.
- Entender a diferença entre derivadas de primeira e segunda ordem, incluindo derivadas mistas.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
A função dada é:
Regra que vamos usar: Regra do Quociente, que diz que se temos uma função
, então sua derivada em relação a uma variável é:
Passo 3
Vamos calcular
.
Identificando
e
:
Calculando as derivadas necessárias:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Novamente, identificando
e
:
Calculando as derivadas necessárias:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, vamos calcular
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Lembre-se que já temos:
Dica: Aplicar novamente a regra do quociente será necessário.
Passo 6
Vamos calcular
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Já temos:
Dica: Mais uma vez, usaremos a regra do quociente para derivar essa expressão em relação a
.
Passo 7
Por fim, vamos encontrar as derivadas mistas
e
.
Isso significa que precisamos derivar
em relação a
e
em relação a
, respectivamente.
Propriedade Importante: Em funções bem comportadas, as derivadas mistas são iguais, ou seja:
Vamos realizar uma dessas derivações, já que elas resultam no mesmo valor.
Resposta
Após calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, temos:
Nota: As expressões das derivadas de segunda ordem são mais complexas e envolvem aplicar novamente a regra do quociente e simplificar as frações resultantes. Recomendo seguir os passos similares aos anteriores para derivar detalhadamente cada uma delas.