Dada a função definida por partes, calcule os limites laterais em x=1\) \[f(x)= \begin{cases}2 x+1, & \text { se } x<1 \\\\ 4-x, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
Determine \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)\] e \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)= \begin{cases}2x+1, & \text{se } x<1,\\[4pt] 4-x, & \text{se } x\ge 1,\end{cases}
e pede duas coisas específicas:
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x) (o limite lateral quando x se aproxima de 1 pela esquerda);
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x) (o limite lateral quando x se aproxima de 1 pela direita).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<1 a expressão da função é \,2x+1.
  • Para x\ge 1 a expressão da função é \,4-x.
  • O ponto onde queremos os limites é x=1.]

Passo 2

O que significa calcular um limite lateral aqui?
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x) significa considerar valores de x menores que 1 e ver qual valor f(x) se aproxima quando x tende para 1 por valores à esquerda.
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x) significa considerar valores de x maiores que 1 e ver qual valor f(x) se aproxima quando x tende para 1 por valores à direita.
Regra útil (explicada): se a função em uma vizinhança de um ponto é dada por uma expressão simples que é contínua (como uma função linear), então o limite quando x tende a esse ponto é obtido simplesmente substituindo o valor do ponto na expressão. Aqui, ambas as expressões \,2x+1 e \,4-x são funções lineares (polinômios de grau 1), e linhas são contínuas em todo lugar, então podemos avaliar os limites substituindo x=1 na expressão adequada para cada lado.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda:
Para x se aproximando de 1 pela esquerda usamos a expressão válida em x<1, que é \,2x+1. Aplicando a ideia da substituição (continuidade da função linear),
\lim_{x\to 1^{-}} f(x) = \lim_{x\to 1^{-}} (2x+1) = 2\cdot 1 + 1 = 3.
Aqui usei a propriedade de limites que permite computar \lim (2x+1)=2\lim x +1 e \lim_{x\to1} x =1.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita:
Para x se aproximando de 1 pela direita usamos a expressão válida em x\ge 1, que é \,4-x. Novamente, por continuidade da expressão linear,
\lim_{x\to 1^{+}} f(x) = \lim_{x\to 1^{+}} (4-x) = 4 - 1 = 3.

Passo 5

Interpretação final dos resultados:
  • Os dois limites laterais existem e ambos valem \,3.
  • Como \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=3, o limite \lim_{x\to 1} f(x) existe e é 3.
  • Observação extra (útil na prova): o valor da função em x=1 é f(1)=4-1=3, então a função é contínua em x=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=3
\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=3

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