Dada a função definida por partes, calcule os limites laterais em
Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes
e pede duas coisas específicas:
-
(o limite lateral quando se aproxima de pela esquerda); -
(o limite lateral quando se aproxima de pela direita).
Informações relevantes fornecidas:
- Para
a expressão da função é . - Para
a expressão da função é . - O ponto onde queremos os limites é
.]
Passo 2
O que significa calcular um limite lateral aqui?
-
significa considerar valores de menores que e ver qual valor se aproxima quando tende para por valores à esquerda. -
significa considerar valores de maiores que e ver qual valor se aproxima quando tende para por valores à direita.
Regra útil (explicada): se a função em uma vizinhança de um ponto é dada por uma expressão simples que é contínua (como uma função linear), então o limite quando
tende a esse ponto é obtido simplesmente substituindo o valor do ponto na expressão. Aqui, ambas as expressões
e
são funções lineares (polinômios de grau
), e linhas são contínuas em todo lugar, então podemos avaliar os limites substituindo
na expressão adequada para cada lado.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda:
Para se aproximando de
pela esquerda usamos a expressão válida em
, que é
. Aplicando a ideia da substituição (continuidade da função linear),
Para
Aqui usei a propriedade de limites que permite computar
e
.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita:
Para se aproximando de
pela direita usamos a expressão válida em
, que é
. Novamente, por continuidade da expressão linear,
Para
Passo 5
Interpretação final dos resultados:
- Os dois limites laterais existem e ambos valem
. - Como
, o limite existe e é . - Observação extra (útil na prova): o valor da função em
é , então a função é contínua em .