Determine o valor do limite radical:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto onde a variável se aproxima é
. - A expressão dentro da raiz é
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando uma função é “bonitinha” (contínua) num ponto, dar o valor da variável naquele ponto e depois aplicar a função dá o mesmo resultado que calcular o limite. Vou explicar isso com calma e usar propriedades simples de limites para justificar a substituição direta.
Explicação didática da propriedade usada:
- Uma função polinomial (como
) é contínua em todo ponto real. Isso significa, de forma prática para limites: se é polinomial e é um número, então
- A função raiz quadrada principal
é contínua em todo ponto com . Em palavras: se se aproxima de um , então se aproxima de . - Composição contínua: se
é contínua em e é contínua em , então é contínua em . Aplicando ao caso: com e .
Essas são propriedades básicas de limites e continuidade que permitem substituir diretamente quando as funções envolvidas são contínuas no ponto de interesse.
Passo 3
Calcular o limite da parte interna
usando a continuidade do polinômio:
Explicando passo a passo: pelo fato de que multiplicação e adição preservam limites,
e
, então somando dá
.
Passo 4
Aplicar a função raiz àquele limite: como a raiz quadrada é contínua em
(e ali
), pode-se trocar limite e raiz:
Lembrando que
é a raiz quadrada principal, isto é, o número não negativo que ao quadrado dá
; portanto
.
Passo 5
Verificação rápida da validade: perto de
a expressão
fica próxima de
e positiva, então não há problema de domínio da raiz. Assim a troca entre limite e raiz está justificada.