Determine o valor do limite radical:
\lim _{x \rightarrow 4} \sqrt{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 4} \sqrt{2x+1}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\sqrt{2x+1}.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=4.
  • A expressão dentro da raiz é 2x+1.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando uma função é “bonitinha” (contínua) num ponto, dar o valor da variável naquele ponto e depois aplicar a função dá o mesmo resultado que calcular o limite. Vou explicar isso com calma e usar propriedades simples de limites para justificar a substituição direta.
Explicação didática da propriedade usada:
  • Uma função polinomial (como 2x+1) é contínua em todo ponto real. Isso significa, de forma prática para limites: se g(x) é polinomial e a é um número, então
\lim_{x\to a} g(x) = g(a).
  • A função raiz quadrada principal h(u)=\sqrt{u} é contínua em todo ponto u com u\ge 0. Em palavras: se u_n se aproxima de um U\ge 0, então \sqrt{u_n} se aproxima de \sqrt{U}.
  • Composição contínua: se g é contínua em a e h é contínua em g(a), então h\circ g é contínua em a. Aplicando ao caso: f(x)=\sqrt{2x+1}=(h\circ g)(x) com g(x)=2x+1 e h(u)=\sqrt{u}.
Essas são propriedades básicas de limites e continuidade que permitem substituir diretamente quando as funções envolvidas são contínuas no ponto de interesse.

Passo 3

Calcular o limite da parte interna 2x+1 usando a continuidade do polinômio:
\lim_{x\to 4} (2x+1) = 2\cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9.
Explicando passo a passo: pelo fato de que multiplicação e adição preservam limites, \lim_{x\to4}2x = 2\cdot 4 e \lim_{x\to4}1 = 1, então somando dá 9.

Passo 4

Aplicar a função raiz àquele limite: como a raiz quadrada é contínua em u=9 (e ali 9\ge 0), pode-se trocar limite e raiz:
\lim_{x\to 4} \sqrt{2x+1} = \sqrt{\lim_{x\to 4} (2x+1)} = \sqrt{9}.
Lembrando que \sqrt{9} é a raiz quadrada principal, isto é, o número não negativo que ao quadrado dá 9; portanto \sqrt{9}=3.

Passo 5

Verificação rápida da validade: perto de x=4 a expressão 2x+1 fica próxima de 9 e positiva, então não há problema de domínio da raiz. Assim a troca entre limite e raiz está justificada.

Resposta

3

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