Dada a função de distribuição acumulada
F_{X}(x)= \begin{cases}0, & x<1 \\\\ 0.1, & 1 \leq x<2 \\\\ 0.3, & 2 \leq x<3 \\\\ 0.8, & 3 \leq x<4.5 \\\\ 1, & x \geq 4.5\end{cases}
(a) Calcule a função de probabilidade da variável cuja função de distribuição acumulada é F(x).
(b) Calcule ainda o valor esperado, a moda, a mediana e a variância de X.
(c) Determine as seguintes probabilidades:
P(1 \leq X \leq 2), \quad P(4=4), \quad P(X>3), \quad P(X \leq 4), \quad P(|X-2| \leq 3), \quad P(1 \leq X<2 \mid X \leq 1.5)

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F_{X}(x)\) e pede três coisas: (a) a função de probabilidade (pmf) da variável \(X\); (b) o valor esperado, a moda, a mediana e a variância de \(X\); \text{(c)} várias probabilidades específicas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (copiadas da peça do enunciado): \[F_{X}(x)= \begin{cases}0, & x<1 \\\\ 0{,}1, & 1 \leq x<2 \\\\ 0{,}3, & 2 \leq x<3 \\\\ 0{,}8, & 3 \leq x<4{,}5 \\\\ 1, & x \geq 4{,}5\end{cases}
Lista das perguntas pedidas explicitamente:
  • (a) Encontrar a função de probabilidade (pmf) p_X(x)=P(X=x)\]. - (b) Calcular \(E[X], a moda, a mediana e \mathrm{Var}(X).
    - (c) Calcular as probabilidades \;P(1\le X\le 2),\; P(4=4),\; P(X>3),\; P(X\le 4),\; P(|X-2|\le 3),\; P(1\le X<2\mid X\le 1{,}5).

Passo 2

Como a função F_{X} é uma CDF com saltos em pontos isolados, X é uma variável discreta concentrada exatamente nos pontos onde F tem salta. Regra para extrair a pmf a partir da CDF: para cada ponto x_0,
p_X(x_0)=P(X=x_0)=F_X(x_0)-\lim_{t\to x_0^-}F_X(t),
ou seja, a probabilidade é o tamanho do salto de F_X em x_0. Vou identificar os pontos em que há salto e calcular cada salto.
Observando a peça dada:
  • Para x<1 temos F_X(x)=0, e para 1\le x<2 temos F_X(x)=0{,}1. Logo há um salto em x=1 de tamanho 0{,}1-0=0{,}1.
  • Para 1\le x<2 F_X=0{,}1 e para 2\le x<3 F_X=0{,}3. Logo salto em x=2 de 0{,}3-0{,}1=0{,}2.
  • Para 2\le x<3 F_X=0{,}3 e para 3\le x<4{,}5 F_X=0{,}8. Salto em x=3 de 0{,}8-0{,}3=0{,}5.
  • Para 3\le x<4{,}5 F_X=0{,}8 e para x\ge4{,}5 F_X=1. Salto em x=4{,}5 de 1-0{,}8=0{,}2.
Portanto os pontos de massa são x=1,2,3,4{,}5 (vou escrever 4{,}5 em notação decimal com vírgula conforme o enunciado). Agora escrevo explicitamente a pmf.

Passo 3

Escrevo a função de probabilidade (resposta do item (a)) usando os saltos calculados:
p_X(1)=0{,}1,\qquad p_X(2)=0{,}2,\qquad p_X(3)=0{,}5,\qquad p_X(4{,}5)=0{,}2.
Verificação rápida (sempre faça isso na prova): somando as probabilidades dá 0{,}1+0{,}2+0{,}5+0{,}2=1, como deve ser para uma pmf.

Passo 4

Agora vamos calcular o valor esperado E[X]. Para variável discreta a fórmula é
E[X]=\sum_{x} x\;p_X(x),
onde a soma é sobre todos os pontos com massa. Vou aplicar isso com cada ponto conhecido; explico passo a passo para você poder reproduzir sem calculadora (os números são simples).
Calcule cada termo:
1\cdot 0{,}1 = 0{,}1,
2\cdot 0{,}2 = 0{,}4,
3\cdot 0{,}5 = 1{,}5,
4{,}5\cdot 0{,}2 = 0{,}9.
Somando:
E[X]=0{,}1+0{,}4+1{,}5+0{,}9=2{,}9.
Então E[X]=2{,}9.

Passo 5

Moda e mediana (item (b), continuação).
  • Definição de moda: valor(es) de x que maximiza(m) p_X(x). Olhando para a pmf, os valores de probabilidade são 0{,}1,\;0{,}2,\;0{,}5,\;0{,}2. O maior é 0{,}5 em x=3. Logo a moda é 3.
  • Definição de mediana: qualquer valor m tal que P(X\le m)\ge 0{,}5 e P(X\ge m)\ge 0{,}5. Uma forma prática discreta: a mediana é o menor valor m com F_X(m)\ge 0{,}5. Observando F_X, em x=2 temos F_X(2)=0{,}3<0{,}5 e em x=3 temos F_X(3)=0{,}8\ge 0{,}5. Então a mediana mínima é 3. Portanto a mediana é 3.

Passo 6

Agora a variância (item (b) continuação). Fórmula:
\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2.
Primeiro calculamos E[X^2]=\sum_x x^2 p_X(x). Faço termo a termo:
1^2\cdot 0{,}1 = 0{,}1,
2^2\cdot 0{,}2 = 4\cdot 0{,}2 = 0{,}8,
3^2\cdot 0{,}5 = 9\cdot 0{,}5 = 4{,}5,
(4{,}5)^2\cdot 0{,}2 = 20{,}25\cdot 0{,}2 = 4{,}05.
Somando:
E[X^2]=0{,}1+0{,}8+4{,}5+4{,}05=9{,}45.
Já temos E[X]=2{,}9, então
\mathrm{Var}(X)=9{,}45-(2{,}9)^2=9{,}45-8{,}41=1{,}04.

Passo 7

Agora resolvo as probabilidades pedidas em (c), uma a uma, com explicação.
Regra útil: para eventos envolvendo intervalos, com variável discreta, conte as massas nos pontos que pertencem ao intervalo. Outra regra: P(X>a)=1-P(X\le a).
  1. P(1\le X\le 2). Os valores possíveis entre 1 e 2 (inclusive) são X=1 e X=2. Então
P(1\le X\le 2)=p_X(1)+p_X(2)=0{,}1+0{,}2=0{,}3.
  1. Sobre P(4=4): como o enunciado contém a expressão P(4=4) isso não é um evento sobre X. Pelo contexto das outras perguntas é razoável interpretar que o objetivo é P(X=4) (evento típico em listas desse tipo). Vou interpretar assim. Não há massa em x=4 (os pontos com massa são 1,2,3,4{,}5), portanto
P(X=4)=0.
  1. P(X>3). Isso é a probabilidade de X tomar valores estritamente maiores que 3. No nosso caso só existe massa maior que 3 em x=4{,}5 com probabilidade 0{,}2. Usando a fórmula também: P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-F_X(3)=1-0{,}8=0{,}2.
  2. P(X\le 4). Como 4 está entre 3 e 4{,}5, para qualquer x em [3,4{,}5) temos F_X(x)=0{,}8. Em particular F_X(4)=0{,}8. Logo
P(X\le 4)=F_X(4)=0{,}8.
(Interpretação prática: isso inclui massas em 1,2,3 mas não a massa em 4{,}5; 0{,}1+0{,}2+0{,}5=0{,}8.)
  1. P(|X-2|\le 3). A condição |X-2|\le 3 equivale ao intervalo -1 \le X \le 5. Todos os pontos de massa 1,2,3,4{,}5 estão dentro desse intervalo, portanto
P(|X-2|\le 3)=1.
  1. P(1\le X<2\mid X\le 1{,}5). Fórmula de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui A=\{1\le X<2\} e B=\{X\le 1{,}5\}. No suporte discreto, A corresponde apenas a X=1 (pois não há massa em pontos não-inteiros entre 1 e 2). B corresponde também apenas a X=1 (o próximo ponto de massa é 2>1{,}5). Então A\cap B=\{X=1\}. Assim
P(1\le X<2\mid X\le 1{,}5)=\frac{P(X=1)}{P(X\le 1{,}5)}=\frac{0{,}1}{0{,}1}=1.

Resposta

(a) p_X(1)=0{,}1,\; p_X(2)=0{,}2,\; p_X(3)=0{,}5,\; p_X(4{,}5)=0{,}2
(b) E[X]=2{,}9
(b) moda =3
(b) mediana =3
(b) \mathrm{Var}(X)=1{,}04
(c) P(1\le X\le 2)=0{,}3
(c) P(X=4)=0
(c) P(X>3)=0{,}2
(c) P(X\le 4)=0{,}8
(c) P(|X-2|\le 3)=1
(c) P(1\le X<2\mid X\le 1{,}5)=1

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