Uma empresa monta rádios cujas partes são lançadas por três de suas fabricas, denominadas
e
respectivamente. Elas produzem
e
do total. As probabilidades de que as fabricas apresentem partes defeituosas são
e 0.02 respectivamente.
(a) Uma peça é selecionada ao acaso desde a produção verificando-se que a peça é defeituosa, qual é a probabilidade de que a peça tenha sido lançada pela fabrica
?.
(b) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada ao acaso seja defeituosa?
(a) Uma peça é selecionada ao acaso desde a produção verificando-se que a peça é defeituosa, qual é a probabilidade de que a peça tenha sido lançada pela fabrica
(b) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada ao acaso seja defeituosa?
Passo 1
O enunciado dá: as três fábricas
produzem, respectivamente,
,
e
do total. As probabilidades de defeito condicionais são
,
e
. As perguntas são:
(a) Dado que uma peça selecionada é defeituosa, qual é para
?
(b) Qual é a probabilidade de que uma peça escolhida ao acaso seja defeituosa, isto é, ?
(a) Dado que uma peça selecionada é defeituosa, qual é
(b) Qual é a probabilidade de que uma peça escolhida ao acaso seja defeituosa, isto é,
Passo 2
Conceito-chave: probabilidade condicional. A definição é
Isto significa: a probabilidade de
ocorrer sabendo que
ocorreu é a razão entre a probabilidade de ambos ocorrerem e a probabilidade de
. Vou usar isso para obter a fórmula de Bayes.
Passo 3
Teorema de Bayes (derivado da definição anterior) diz que, para eventos
que formam uma partição do espaço (aqui: uma peça vem de exatamente uma das fábricas),
Aqui
é a fração produzida por
e
é a taxa de defeitos nessa fábrica. Ainda precisamos de
, que vem da lei da probabilidade total.
Passo 4
Lei da probabilidade total para
:
Substituindo os números dados (lembre que
,
,
):
Passo 5
Calculemos cada termo separadamente para não nos perder:
Somando:
Interpretação: a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é
(ou
).
Passo 6
Agora aplicamos Bayes para cada
. Para
:
Faço a divisão:
Passo 7
Para
:
Passo 8
Para
:
Verificação rápida:
, o que faz sentido (as três probabilidades condicionais somam 1).
Resposta
(a)
(b)
(b)