Uma empresa monta rádios cujas partes são lançadas por três de suas fabricas, denominadas A_{1}, A_{2} e A_{3} respectivamente. Elas produzem 15 \%, 35 \% e 50 \% do total. As probabilidades de que as fabricas apresentem partes defeituosas são 0.01,0.05 e 0.02 respectivamente.
(a) Uma peça é selecionada ao acaso desde a produção verificando-se que a peça é defeituosa, qual é a probabilidade de que a peça tenha sido lançada pela fabrica A_{i}, i=1,2,3 ?.
(b) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada ao acaso seja defeituosa?

Passo 1

O enunciado dá: as três fábricas A_{1},A_{2},A_{3} produzem, respectivamente, 15\%, 35\% e 50\% do total. As probabilidades de defeito condicionais são P(D\mid A_{1})=0,01, P(D\mid A_{2})=0,05 e P(D\mid A_{3})=0,02. As perguntas são:
(a) Dado que uma peça selecionada é defeituosa, qual é P(A_{i}\mid D) para i=1,2,3?
(b) Qual é a probabilidade de que uma peça escolhida ao acaso seja defeituosa, isto é, P(D)?

Passo 2

Conceito-chave: probabilidade condicional. A definição é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Isto significa: a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu é a razão entre a probabilidade de ambos ocorrerem e a probabilidade de B. Vou usar isso para obter a fórmula de Bayes.

Passo 3

Teorema de Bayes (derivado da definição anterior) diz que, para eventos A_{i} que formam uma partição do espaço (aqui: uma peça vem de exatamente uma das fábricas),
P(A_{i}\mid D)=\frac{P(A_{i})\,P(D\mid A_{i})}{P(D)}.
Aqui P(A_{i}) é a fração produzida por A_{i} e P(D\mid A_{i}) é a taxa de defeitos nessa fábrica. Ainda precisamos de P(D), que vem da lei da probabilidade total.

Passo 4

Lei da probabilidade total para D:
P(D)=\sum_{i=1}^{3} P(A_{i})\,P(D\mid A_{i}).
Substituindo os números dados (lembre que 15\%=0,15, 35\%=0,35, 50\%=0,50):
P(D)=0,15\cdot 0,01 + 0,35\cdot 0,05 + 0,50\cdot 0,02.

Passo 5

Calculemos cada termo separadamente para não nos perder:
0,15\cdot 0,01 = 0,0015,
0,35\cdot 0,05 = 0,0175,
0,50\cdot 0,02 = 0,0100.
Somando:
P(D)=0,0015 + 0,0175 + 0,0100 = 0,029.
Interpretação: a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é 0,029 (ou 2,9\%).

Passo 6

Agora aplicamos Bayes para cada i. Para i=1:
P(A_{1}\mid D)=\frac{P(A_{1})\,P(D\mid A_{1})}{P(D)}=\frac{0,15\cdot 0,01}{0,029}=\frac{0,0015}{0,029}.
Faço a divisão:
P(A_{1}\mid D)\approx 0,05172\quad(\text{≈ }5,172\%).

Passo 7

Para i=2:
P(A_{2}\mid D)=\frac{0,35\cdot 0,05}{0,029}=\frac{0,0175}{0,029}\approx 0,60345\quad(\text{≈ }60,345\%).

Passo 8

Para i=3:
P(A_{3}\mid D)=\frac{0,50\cdot 0,02}{0,029}=\frac{0,0100}{0,029}\approx 0,34483\quad(\text{≈ }34,483\%).
Verificação rápida: 0,05172+0,60345+0,34483\approx 1,000, o que faz sentido (as três probabilidades condicionais somam 1).

Resposta

(a) P(A_{1}\mid D)\approx 0,05172,\;P(A_{2}\mid D)\approx 0,60345,\;P(A_{3}\mid D)\approx 0,34483
(b) P(D)=0,029

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