(2,0) Dada a função f(x)=2+sin (x^2)x^2, determine as assintotas horizontais e verticais de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2+sinl(x^2r)x^2
e pede as assíntotas verticais (pontos onde f(x)topminfty) e horizontais (retas y=L com limxtopminftyf(x)=L). Vamos primeiro analisar o domínio e possíveis divisões por zero para achar assíntotas verticais, e depois os limites no infinito para achar assíntotas horizontais.

Passo 2

Domínio de f é Rsetminus0, pois em x=0 o denominador zera. Para ver se há assíntota vertical em x=0, calculamos o comportamento de f(x) quando xto 0. Como sin(x^2) tende a sin(0)=0, o numerador tende a 2. Então, para x muito próximo de zero,
f(x)approx2x^2,
que vai para +infty tanto por xto0^+ quanto por xto0^-. Logo, existe assíntota vertical em
x=0

Passo 3

Para assíntotas horizontais, estudamos limxtopminftyf(x). Note que sin(x^2) oscila entre -1 e 1, então
-1<= sin(x^2)<= 1 Longrightarrow 1<= 2+sin(x^2)<= 3
Logo o numerador é limitado e x^2to+infty, de modo que
limxtopminftyf(x) =limxtopminfty2+sin(x^2)x^2 =0
Isso mostra que existe uma assíntota horizontal na reta
y=0

Resposta

Assíntota vertical: x=0.
Assíntota horizontal: y=0.

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