(2,0)Dada a função f(x)=5 x^3-3 x^5.
(b) (0,75)Determine os intervalos onde f(x) tem Concavidade Voltada para Cima, Concavidade Voltada para Baixo, os pontos de Inflexão;

Passo 1

O enunciado pede para, dado f(x)=5x^3-3x^5, determinar onde a concavidade é para cima, para baixo e localizar os pontos de inflexão. O conteúdo é análise de concavidade via derivada segunda, que nos diz: se f''(x)>0 a curva é côncava para cima e se f''(x)<0 é côncava para baixo; pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 com troca de sinal.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas. A derivada primeira é
f'(x)=ddx(5x^3-3x^5)=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2)

Passo 3

Em seguida a derivada segunda fica
f''(x)=ddxl(15x^2-15x^4r)=30x-60x^3=30x(1-2x^2)

Passo 4

Agora achamos onde f''(x)=0. Resolvendo
30x(1-2x^2)=0
vem
x=0ou1-2x^2=0Rightarrow x=pm1raiz2

Passo 5

Para classificar a concavidade, testamos um ponto em cada intervalo:
  • Em (-∞,-1/raiz2), por exemplo x=-1: f''(-1)=30(-1)(1-2)=30>0, côncava para cima.
  • Em (-1/raiz2,0), por exemplo x=-0.5: f''(-0.5)=30(-0.5)(1-2cdot0.25)=-7.5<0, côncava para baixo.
  • Em (0,1/raiz2), por exemplo x=0.5: f''(0.5)=7.5>0, côncava para cima.
  • Em (1/raiz2,∞), por exemplo x=1: f''(1)=30(1)(1-2)=-30<0, côncava para baixo.

Passo 6

Os pontos onde f''(x)=0 e há troca de sinal são inflexão. Calculamos f(x) nesses x:
  • f(0)=0.
  • f(1/raiz2)=5(1/raiz2)^3-3(1/raiz2)^5=52raiz2-34raiz2=74raiz2=7raiz28
  • Pelo paridade f(-1/raiz2)=-7raiz28

Resposta

Concavidade para cima em (-infty,-1/raiz2) e (0,1/raiz2); concavidade para baixo em (-1/raiz2,0) e (1/raiz2,infty). Pontos de inflexão: l(-1/raiz2,-7raiz2/8r), (0,0) e l(1/raiz2,7raiz2/8r).

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