Dada a função
.
(b) (0,75)Determine os intervalos onde
tem Concavidade Voltada para Cima, Concavidade Voltada para Baixo, os pontos de Inflexão;
(b) (0,75)Determine os intervalos onde
Passo 1
O enunciado pede para, dado
, determinar onde a concavidade é para cima, para baixo e localizar os pontos de inflexão. O conteúdo é análise de concavidade via derivada segunda, que nos diz: se
a curva é côncava para cima e se
é côncava para baixo; pontos de inflexão ocorrem onde
com troca de sinal.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas. A derivada primeira é
Passo 3
Em seguida a derivada segunda fica
Passo 4
Agora achamos onde
(x)=0. Resolvendo
vem
Passo 5
Para classificar a concavidade, testamos um ponto em cada intervalo:
- Em
, por exemplo : , côncava para cima. - Em
, por exemplo : , côncava para baixo. - Em
, por exemplo : , côncava para cima. - Em
, por exemplo : , côncava para baixo.
Passo 6
Os pontos onde
(x)=0 e há troca de sinal são inflexão. Calculamos
nesses
:
-
. -
- Pelo paridade
Resposta
Concavidade para cima em
e
; concavidade para baixo em
e
. Pontos de inflexão:
,
e
.