Verifique se a função vetorial
é contínua em
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Temos a função vetorial
definida por partes e queremos verificar a continuidade em
. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais, que se reduz à continuidade de cada componente. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
e comparar com o valor
.
Passo 2
Primeiro componente (direção
): temos
. Usamos o limite clássico
. Logo,
[\lim_{t\to0} -3,\frac{\sin(t)}{t} = -3 \cdot 1 = -3],
Segunda componente (direção ): é
. Como é um polinômio,
[\lim_{t\to0} (4t - 7) = 4\cdot0 - 7 = -7],
[\lim_{t\to0} -3,\frac{\sin(t)}{t} = -3 \cdot 1 = -3],
Segunda componente (direção
[\lim_{t\to0} (4t - 7) = 4\cdot0 - 7 = -7],
Passo 3
Portanto o limite da função vetorial é
[\lim_{t\to0} \vec{g}(t) = -3,\vec{i} - 7,\vec{j}],
Mas foi dado como
. Como o limite coincide com o valor da função em
, concluímos que
é contínua em
.
[\lim_{t\to0} \vec{g}(t) = -3,\vec{i} - 7,\vec{j}],
Mas
Resposta
A função é contínua em t = 0, pois
.