Verifique se a função vetorial g(t)=cc-3 sen(t)t i+(4 t-7) j ; & t neq 0 -3 i-7 j ; & t=0 é contínua em t=0. Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos a função vetorial g(t) definida por partes e queremos verificar a continuidade em t=0. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais, que se reduz à continuidade de cada componente. Para isso, vamos calcular o limite de g(t) quando tto0 e comparar com o valor g(0).

Passo 2

Primeiro componente (direção i): temos -3,sin(t)t. Usamos o limite clássico limtto0 sin(t)t = 1. Logo,
[\lim_{t\to0} -3,\frac{\sin(t)}{t} = -3 \cdot 1 = -3],
Segunda componente (direção j): é 4t - 7. Como é um polinômio,
[\lim_{t\to0} (4t - 7) = 4\cdot0 - 7 = -7],

Passo 3

Portanto o limite da função vetorial é
[\lim_{t\to0} \vec{g}(t) = -3,\vec{i} - 7,\vec{j}],
Mas g(0) foi dado como -3,i - 7,j. Como o limite coincide com o valor da função em t=0, concluímos que g(t) é contínua em t=0.

Resposta

A função é contínua em t = 0, pois limtto0 g(t) = -3,i - 7,j = g(0).

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