Dada a função f(x) = x^4 - 2 x^3 : (b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para determinar onde ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele ponto; se for negativa, está decrescendo. Então, vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Com os pontos críticos e , vamos dividir a reta em três intervalos e testar o sinal da derivada em cada um deles:
  1. Intervalo : Escolhemos, por exemplo, :
    Portanto, a função está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo : Escolhemos, por exemplo, :
    A função também está decrescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo : Escolhemos, por exemplo, :
    Aqui, a função está crescendo.

Resposta

A função está decrescendo nos intervalos e crescendo no intervalo .

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