1. Dãda a função f(x)=x^{2}-4 x-5
    a. Calcula as coordenadas do vértice.
    b. Apresenta em forma de intervalo os valores de x para que f(x) \leq 0

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=x^{2}-4x-5 e pede duas coisas:
– as coordenadas do vértice;
– o intervalo de x em que f(x)\le0.
Para isso vamos usar a fórmula do vértice de uma parábola e resolver a inequação quadrática pelo método das raízes e análise de sinal.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da função quadrática f(x)=x^{2}-4x-5, onde a=1, b=-4 e c=-5. A abscissa do vértice vem da fórmula do eixo de simetria:
x_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2\cdot1} = 2.

Passo 3

Para achar a ordenada do vértice, substituímos x_{v} em f:
f(2) = 2^{2} - 4\cdot2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.
Logo, o vértice é (2,-9).

Passo 4

Agora resolvemos f(x)=0 para encontrar as raízes. O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot(-5) = 16 + 20 = 36.
As raízes são
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2},
ou seja,
x_{1} = -1,\quad x_{2} = 5.

Passo 5

Como a=1>0, a parábola abre para cima. Portanto f(x)\le0 exatamente no intervalo entre as raízes x_{1} e x_{2}. Assim,
x\in[-1,5].

Resposta

a. Vértice: (2,-9)
b. x\in[-1,5]

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