1. (a) Dada a função f(x)=-x(x-2)^2, determine:
    (1) O domínio de f;
    (2) As intersecções com os eixos;
    (3) As assíntotas, caso existam;
    (4) Os intervalos de crescimento e decrescimento;
    (5) Os pontos de inflexão e as concavidades;
    (b) Trace o gráfico de f.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar a função
f(x) = -x(x-2)^2
determinando ( 1) domínio, ( 2) intersecções com os eixos, ( 3) assíntotas, ( 4) intervalos de crescimento e decrescimento e ( 5) pontos de inflexão e concavidade, para em seguida esboçar o gráfico. Usaremos limites para assíntotas e derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos onde o denominador se anula. O fator (x-2)^2 se anula em x=2, gerando divisão por zero. Portanto o domínio é
D = R setminus 2

Passo 3

Intersecções com os eixos:
– Eixo x: buscarmos f(x)=0. Como f(x)=-x/(x-2)^2, isso exige x=0. Logo o ponto é (0,0).
– Eixo y: fazemos x=0, obtendo f(0)=0. É o mesmo ponto (0,0).

Passo 4

Assíntotas:
– Vertical em x=2, pois o limite lateral diverge.
– Horizontal em y=0, pois
limxtopminftyf(x) = limxtopminfty -xx^2(1-2/x)^2 = 0
Não há assíntota oblíqua além de y=0.

Passo 5

Crescimento e decrescimento:
Calculamos a derivada
f'(x) = (x+2)(x-2)^3
Soluções de f'(x)=0 dão x=-2, e f' não existe em x=2.
Analisando o sinal de f':
para x<-2: numerador x+2<0, denominador (x-2)^3<0 Rightarrow f'>0 (cresce);
para -2<x<2: numerador >0, denom. <0 Rightarrow f'<0 (decresce);
para x>2: numerador >0, denom. >0 Rightarrow f'>0 (cresce).
Em x=-2 há máximo local com
f(-2)=-(-2)(-4)^2=216=18

Passo 6

Pontos de inflexão e concavidade:
Derivada segunda
f''(x) = -2,x+4(x-2)^4
Anula-se em x=-4, ponto de inflexão. Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f'' é dado por -2(x+4):
para x<-4: x+4<0 Rightarrow f''>0 (concavidade pra cima);
para x>-4: x+4>0 Rightarrow f''<0 (concavidade pra baixo).

Passo 7

Esboço do gráfico:
– Passa por (0,0), tem máxima local em (-2,1/8) e inflexão em (-4,1/9).
– Vertical em x=2 e horizontal em y=0.
– Para x<2: cresce até -2, decresce até 2; concava acima até -4, depois concava abaixo.
– Para x>2: cresce e concava abaixo, aproximando-se de y=0.

Resposta

Domínio: Rsetminus2
Intersecções: (0,0) com ambos eixos
Assíntotas: vertical x=2, horizontal y=0
Crescimento/decrescimento: cresce em (-infty,-2) e (2,infty), decresce em (-2,2); máximo local em (-2,1/8)
Ponto de inflexão: (-4,1/9); concavidade para cima em (-infty,-4), para baixo em (-4,2)cup(2,infty)
Gráfico: conforme esboço descrito acima.

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