- (a) Dada a função
, determine:
(1) O domínio de
;
(2) As intersecções com os eixos;
(3) As assíntotas, caso existam;
(4) Os intervalos de crescimento e decrescimento;
(5) Os pontos de inflexão e as concavidades;
(b) Trace o gráfico de
.
(1) O domínio de
(2) As intersecções com os eixos;
(3) As assíntotas, caso existam;
(4) Os intervalos de crescimento e decrescimento;
(5) Os pontos de inflexão e as concavidades;
(b) Trace o gráfico de
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos estudar a função
determinando (
) domínio, (
) intersecções com os eixos, (
) assíntotas, (
) intervalos de crescimento e decrescimento e (
) pontos de inflexão e concavidade, para em seguida esboçar o gráfico. Usaremos limites para assíntotas e derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos onde o denominador se anula. O fator
se anula em
, gerando divisão por zero. Portanto o domínio é
Passo 3
Intersecções com os eixos:
– Eixo : buscarmos
. Como
, isso exige
. Logo o ponto é
.
– Eixo : fazemos
, obtendo
. É o mesmo ponto
.
– Eixo
– Eixo
Passo 4
Assíntotas:
– Vertical em , pois o limite lateral diverge.
– Horizontal em , pois
– Vertical em
– Horizontal em
Não há assíntota oblíqua além de
.
Passo 5
Crescimento e decrescimento:
Calculamos a derivada
Calculamos a derivada
Soluções de
dão
, e
não existe em
.
Analisando o sinal de :
para : numerador
, denominador
(cresce);
para : numerador
, denom.
(decresce);
para : numerador
, denom.
(cresce).
Em há máximo local com
Analisando o sinal de
para
para
para
Em
Passo 6
Pontos de inflexão e concavidade:
Derivada segunda
Derivada segunda
Anula-se em
, ponto de inflexão. Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
é dado por
:
para :
(concavidade pra cima);
para :
(concavidade pra baixo).
para
para
Passo 7
Esboço do gráfico:
– Passa por , tem máxima local em
e inflexão em
.
– Vertical em e horizontal em
.
– Para : cresce até
, decresce até
; concava acima até
, depois concava abaixo.
– Para : cresce e concava abaixo, aproximando-se de
.
– Passa por
– Vertical em
– Para
– Para
Resposta
Domínio:
Intersecções: com ambos eixos
Assíntotas: vertical , horizontal
Crescimento/decrescimento: cresce em e
, decresce em
; máximo local em
Ponto de inflexão: ; concavidade para cima em
, para baixo em
Gráfico: conforme esboço descrito acima.
Intersecções:
Assíntotas: vertical
Crescimento/decrescimento: cresce em
Ponto de inflexão:
Gráfico: conforme esboço descrito acima.